如何证明这个群论问题？ 第1页

写一个略不一样的问题的证明，其中的主要命题恰好是我上次笔记中跳过的部分，今天补上.

设是 群的子群，指数为素数，则.

先说明记号：对群G的子集M, 记其正规化子 ；从而 是正规子群等价于 . 记群 的中心为 . 设群 作用在集合 上，则不动点记为 ，固定 的所有元素（稳定化子）记为 .

我们证明更一般的命题：

Prop. G是p-群，H是其真子群，则 .特别地 .

注意到，如果取 为满足前面条件的 ，由 ， 就有 ， ，从而 是正规子群. 现在我们来证明这个命题.

需要两个熟知的结论. 首先注意第二同构定理有如下的推广：

Lemma1. 是群的满同态，则 包含 的子群（resp. 正规子群）和 的子群（resp. 正规子群）有保持包含关系的1-1对应：

特别地，设 是 的正规子群，令 是到商群的典范同态，则 中包含 的子群（resp. 正规子群）与 的子群（resp. 正规子群）有着上述1-1对应关系.

这个结论对环的版本也是成立的而且似乎更加常用. 证明是根据定义平凡的验证.

再考虑 群 的中心 . 我们知道它是非平凡的：

lemma2. G是非平凡p-群，则对于任意带有群G作用的有限集X，

证明.在轨道公式中，我们考察右边求和中的项：对于 的x,由Lagrange定理便有 的幂次，从而模p为0，于是 ，根据定义 iff ，因此

，即得证.

lemma3. G是非平凡p-群，则 也非平凡.

证明. 是G在自身上共轭作用的不动点，因此 .

现在我们正式开始Prop的证明. 对 作归纳，不妨设命题对更小的 成立. 显然有 . 如果 不是 的子集，则 . 从而我们只要讨论 情形. 此时我们考虑商去 来向 更小的情形递归. 令 . 因为 非平凡，可以对 用归纳假设，得到

.

不难验证 ，这样此时应用lemma1, 命题就得证.

用陪集表示定理，Cayley定理还是它的特例。

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  wsheep 网友的相关建议: 
      

作用在左陪集 上给出同态 . 其中 是 阶对称群, 其阶为 . 我们有 , 而 是 最小的素因子, 由此 或者 . 后者是不可能的, 由此 . 我们有 故 是正规子群.

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