平面上两条 n 次曲线相交，交点的最大个数是否为 n²？ 第1页
1
zhai-sen-8 网友的相关建议:
直觉上认识，n条互相平行的直线是n次曲线的一种（尽管看起来是退化的情形）。两个(n条互相平行的直线)相互交叉就是n^2个交点。然后让n次曲线连续地变动，交点的个数也应该是连续变动的，但交点个数是整数，所以就总是n^2. （这里要恰当地定义好交点的重数）。这是证明Bezout定理的其中一个粗糙的思路。
fattyymusic 网友的相关建议:
是。代数几何（Algebraic geometry，数学的一个分支，不是“代数+几何”的合称）里有一个贝祖定理（Bézout's theorem）说的就是这个问题（不是数论里同名的那个定理）。
通俗点说可以这么理解（非完整证明，严格的表述及推导请看代数几何教材）： 次平面曲线的方程就是一个二元 次多项式 ，同理，另一个 次曲线的方程是一个二元 次多项式 。它们联立求交点坐标，可以转化为求结式 （Resultant，不是留数，记号类似而已） 的解。根据代数基本定理，最高次为 的多项式方程最多有 个实根（若算上复数与重根，则一定有这么多），这意味着两条曲线最多可有 个实交点（只保证存在，不保证可解）， 时即为 。
例子如下图，两条三次曲线最多有九个交点，二次和四次曲线最多有八个交点。
一个较硬核的数学描述参见：
1
相关话题
Diffie-Hellman密码交换是如何运作的？数学史上有哪些比较著名的猜想因为有反例的存在而没有成为定理？
除了黎曼猜想，数学界还有哪些至今尚未得到证实的猜想？
如果 1+1 等于 3，其他不变，比如 1+2 还是等于 3，那世界会是什么样的？
如何把微信群/QQ群构造成一个阿贝尔群？
如何直观地理解阿贝尔变换恒等式？
为什么离 n!/e 最近的整数是 n-1 的倍数？
如何这道计算绝对值不等式的题目？
高中圆锥曲线很难吗？
千年后证明费马大定理会否变成高中数学课后习题？
前一个讨论
为什么拓扑的连续映射不倒着定义？
相关的话题
一些生活中看似习以为常实则牵扯到物理，数学化学等学科的高大上的原理有哪些？?第二问怎么用加边法思路?
如何证明不定方程是否有解?
抛开物理意义，数学家在纯代数中讨论张量积或者多重线性映射的思想背景是什么？
「数理化生」四个学科间有哪些联系？
因子分析法求权重，两个指标可以用这个方法吗？这个方法的优势是什么？
一个函数的不定积分存在有哪些必要条件或者充分条件？
哪个瞬间让你觉得一入数学深似海？
如图题，如何不用“强拆”的方式证明？
为什么不能说 20℃ 是 10℃ 的两倍？
请问为什么 sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，有没有详细推导呢？
「奇变偶不变，符号看象限」这句话最早是谁提出来的？
乘法分配律是公理吗，是能证明的吗？
正方体的体对角线垂直吗？
2004年11月25日是感恩节，在不看万年历的情况下，怎么知道2023年的感恩节是11月几日呢？
用分离变量法来解 PDE 的合理性何在？
n阶实方阵矩阵的换位子问题？
如何证明闭开区间无最大值(如反证法)？
各位大佬，这题怎么做?球了？
四边不等的一般四边形如何求面积？
研究软件工程需要哪些数学方面的知识？
对于数学分析、微分方程、复变、代数学、拓扑学等数学课程你都见过哪些很有自己一派风格而不落俗套的教材?
用向量方法证明海伦公式划线的地方没明白⊙ω⊙？求详细过程！？
数理金融和金融工程需要修的数学课程有哪些?
在上学的同时自学完这些物理、数学、计算机技术、哲学等内容，大概需要多长时间？
如何证明下面的整除关系成立？
知乎现在都有哪些值得关注的严肃输出？
有哪些神奇的数学巧合？
初中数学考19分还有救吗？
Exotic R^4是不是和米尔诺怪球的道理一样，Exotic R^4可以形变为R^4，但形变不光滑？