这种游戏规则是否有必胜策略？ 第1页

谢邀。

先从简单的局面开始讨论。

n=4时，先手者必胜。

①A=1，B=2，A=4，B=3，B输；

②A=1，B=4，A=2或3，B=3或2，B输；

③A=2，B=3，A=1或4，A输…

分析：1234这个序列中总共有2个三元等差数组，即123，234，当A与B先后决策后，A剩下两个数待选，这就导致——

A赢有两种情况：

• 待选数有一个可以和已选数形成等差，那么A此时选择另一个即可，如①②；
• 待选数都不能与已选定的数形成等差，那么A选择任选一者即可。

A输有一种情况：

• 剩下的数都能与已选定的数构成等差数列，如③。

为什么上面只列出了三种情况，AB应当还有其他的决策啊？

但如果我们不考虑数字的特殊性，上述三种情况已经抽象地把A所遇到的情况已概括完全了。

将看似不同的决策归为一类，将大大简化我们需要讨论的情况，为此，需先说明一下数字的等效性。

等效性

①A=1，B=2，A=4，B=3，B输；

④A=1，B=3，A=4，B=2，B输；

有没有发现，①、④中的数字1、4上下对应，2、3互换，结局都是B输！

②A=1，B=4，A=2或3，B=3或2，B输；

⑤A=4，B=1，A=2或3，B=3或2，B输；

②、⑤中的数字2、3上下对应，1、4互换，结局都是B输！

③A=2，B=3，A=1或4，A输；

⑥A=3，B=2，A=1或4，A输…

情况与上相同！

这就提示我们，将①④或③⑤归为一类是有好处的。于是我们会问，为什么数字1与4可以互换，2与3等效呢？

容易发现，n=4时仅有的两个三元等差数组123，234，1与4是两个数组分别各自独有的，2与3是两个数组所共有的。1与4是组间对称，因为等差数组123与234两者地位相同；2与3是组内对称。1、4互换，2、3互换，对结果没影响，于是我们有了这么一组置换：

Τ = { (1), (14), (23), (14)•(23), (23)•(14) }

其中(1)代表恒等变换，(14)•(23)与(23)•(14)是由(14)、(23)复合的变换。事实上，T是一对称群S₄的子群，并且T只需(14)、(23)复合就可以生成它自己的所有元素，我们记为：

T = < σ, τ >

其中σ = (14)，τ = (23)

到此为止，局势逐渐明朗起来。

最后我们定义A的胜负函数！

A(a₁a₂a₃a₄) = ±1

A胜，则函数值为1，否则为-1；其中a₁a₂a₃a₄是1234的某个排列，代表AB的交替决策的序列。

对于上面的讨论，我们可以简化为：

A(1243) = A( τ(1243) ) = Α(1342) = 1，其中τ表示将1243中的23互换。

这就是①与④的联系。

同理还有，

A(1423) = A( σ(1243) ) = 1

线性方程组的解空间，是由特值解与基础解系生成，于是想，能否找到一组特解，然后通过上述变换T生成A的所有优胜决策？

这个想法很美妙。

验证

我先暴力求出所有A优胜结局：

注意到当A先手选1和4的时候，无论B如何决策，A胜（如图中矩阵1～4行，9～12行），而A先手选2和3，除非B是一个傻B，否则A负，这实际上就是我们在文章伊始所列出的情况③，剔除掉这些没用的策略（如图中矩阵5～8行），A的真正必胜决策略只有8种！

而这八种决策还可以进一步“缩水”：

设

α = (1243)，β = (1423)

σ = (14)，τ = (23) （还记得吗？）

则

⓵ (1243) = α

⓶ (1342) = τ(α)

⓷ (1423) = β

⓸ (1432) = σ(β)

⓹ (4123) = τ(β)

⓺ (4132) = σ•τ(β)

⓻ (4213) = σ(α)

⓼ (4312) = τ•σ(α)

你震撼吗？反正我是被震撼了！！！

A的所有必胜策略实际上只有α与β两种，而剩下策略无非都是经过T变换出来的。用符号表示：

A⁺⁺ = T(S)

其中A⁺⁺ 为A的必胜策略，T := < σ, τ >，S := { α, β }

流程总结

先找到所有三元等差数组，然后分析等效数字，找到所有等效置换，最后找到一组基本解，对其进行置换得到所有解的形式。

我觉得分析到这里，这个游戏的本质已经浮出水面，更一般的决策只能后面有时间补充了。