有哪些看起来很简单但做起来很难的数学题？ 第1页

求证：任何一个有理数都可以写成三个有理数的立方和。

证明：。

其实还有那种看起来很简单，做起来也不难，但是可以强行做的很难的题。

比如这道IMO2000/2，这道题是这样的：

然后答案是这样的：

就一个代换，一步就出来了，后面就是一个舒尔不等式的变形。

但是某日本选手是这样做的：

当时我就震惊了。

古希腊著名的数学家 Archimedes 曾提出过下述所谓的 Archimedes 群牛问题：

Archimedes 群牛问题 是用古希腊哀歌体的对句诗的形式呈现的，其翻译成中文大意是：

朋友，如果你自认为还有几分聪明，

请来准确无误地算一算太阳神的牛群，

它们聚集在西西里岛，

分成四群悠闲地品尝青草 .

第一群像乳汁一般洁白，

第二群闪耀着乌黑的光泽，

第三群棕黄，

第四群毛色花俏，

每群牛有公有母、有多有少.

先告诉你各群的公牛比例：

白牛数等于棕色牛数再加上黑牛数的三分之一又二分之一，

此外，黑牛数为花牛数的四分之一加五分之一，再加上全部棕色公牛，

朋友，你还必须牢记花牛数是白牛的六分之一又七分之一，

再搭上全部的棕色公牛.

但是，各群的母牛都有不同的比例：

白色的母牛数等于全部黑色公母牛的三分之一又四分之一，

而黑母牛又是花牛的四分之一加上五分之一，

请注意，母牛公牛都要算进去，

同样的，花母牛的数量是全部棕色牛的五分之一加六分之一，

最后，棕色母牛与全部白牛的六分之一加七分之一相一致.

朋友，若你能确切地告诉我这些公牛母牛膘肥体壮、毛色各异，

一共有多少聚集在那里，

你就不愧为精通计算.

但你还称不上聪明无比，

除非你能回答如下的问题：

把所有的黑白公牛齐集一起，

恰排成正方形，整整齐齐 .

辽阔的西西里岛草地，

还有不少公牛在聚集，

当棕色的公牛与花公牛走到一起，

排成一个三角形状 .

棕色公牛、花公牛头头在场，

其他的牛没有一头敢往里闯，

朋友，你若能够根据上述条件，

准确说出各种牛的数量，

那你就是胜利者，

你的声誉将如日月永放光芒 .

可以看出该问题要求求出满足一些算术限制条件的属于太阳神的白色，黑色，花色及棕色的公牛与母牛的头数. 设白色，黑色，花色及棕色的公牛数分别为 而对应颜色的母牛数分别为 则由题意知各种颜色的公牛数满足条件：

这是一个 四元一次方程组，不难求出其解为

其中 为正整数. 而母牛数满足条件：

由于我们已经解出 故第二个方程组仍为一个 四元一次方程组. 但要想解出这个方程组却得花费一番功夫，经过一番繁琐耐心的计算可得

令 ，其中 为正整数，则有

至此我们好像已经把问题解决了，除了计算稍微有点复杂，问题本身看起来好像挺简单的. 但是我们不要忘了各种颜色的公牛数还得满足最后两个限制条件： 为一个 平方数，而 为一个 三角数. 这是 Archimedes 群牛问题 最具挑战的地方！

由 的表达式知我们关键是要选取合适的正整数 ，使得

分别为一个 平方数 和 三角数. 由第一个条件及

知我们要找一个正整数 ，使得

又不难知道一个正整数 为 三角数 当且仅当 为 平方数. 由此结论及第二个条件知我们还要找一个正整数 ，使得

此即为

由于

故上述方程为 Pell 方程，它有无穷多组正整数解，且其全部的解可以用连分数理论求出. 由此可知 Archimedes 群牛问题 有解，且有无穷多解. 于是 Archimedes 群牛问题 最终归结为求上述 Pell 方程 的解，但我们将会看到求这个 Pell 方程 的解非常困难！1867 年，不那么著名的德国数学家 Meyer 试图将

做连分数展开，但展开 步后仍未找到其周期，最后遗憾放弃. 后人发现这个数的连分数展开的周期为 ，所以不怪 Meyer 没能坚持，而是这个周期实在是太大了！由此也可以看出直接去解上述 Pell 方程 计算量太大，需另想办法. 1880 年，数学家 Amthor 终于找到了这么一个好办法！ 他考虑下述较为简单的 Pell 方程：

因为不难看出若 为 方程 (1) 的解，则 必为 方程 (2) 的解. 反之，若 为 方程 (2) 的解且满足 ，则 必为 方程 (1) 的解. 我们设 方程 (2) 的 基本解 为

则我们要找最小的正整数 ，使得

且满足 Amthor 经过仔细的论证发现 必整除

由于 的素因子较少，所以 Amthor 没有费太多功夫进一步验算后发现

最后要做的就是对 做连分数展开，以找到其周期，它一个周期的渐进分数的分子分母就是 和 的值. 又是经过一番繁琐的计算，Amthor 得到

可以看出这个数的连分数展开的周期为 ，且由此可以得到其一个周期的渐进分数为

从而 方程 (2) 的 基本解 为

进而可得 方程 (2) 的解 满足

其中 为正整数. 又由于

从而有

这些正整数 就是我们要找的正整数 ，由此可得

最终可知各种颜色的公牛和母牛的数量分别为

从而西西里岛上这群牛的总数为

这群牛的总数最少则为

我们不难看出这将是一个天文数字，Amthor 算出这个数总共有 位！但他也未能准确地计算出这个数具体是多少，所以按照 Archimedes 的说法 Amthor 只能算精通计算，但还称不上聪明无比. 1965 年，Waterloo 大学 的 Williams， German 和 Zarnke 借助两台超级计算机 IBM 7040 和 IBM 1620 花了 7 小时 49 分钟的时间，才算出这个数的具体值为：

77602714064868182695302328332138866642323224059233761031506192269032159306140695319434895532383303323858002319508900470334409421198283350895344615755887436491896796665512546477258454651046160274827690819227327323962470837675217181238331930710620594708977810284615137192998986811186884169272785696573474267596983337408630132757251813990392952408675358975110163303819959522862248989774767949347775886227372374625567509011629634067938245205426167693237121938021260663185281326632834523325818221612627982067522627938255320483533177453607881941951001290253537890794307708022239047700271232398268005475107063331240640184249410626455913563357093287395070984682518650846489977341035784877023142120702318730542921959831095003754661935911649226657552099184400667105944448993541466147401788096478421256841768621381188173670664948693934942747838804473398437179965633821639561506729068214045976585625895438010654959638943231681246204351083550687417880221537048762073557878731712376203603500154366802047561197127958797951535461199202162299669681693138757515962720759360360577327122115282962079779419362426744039263593532057397991223215167456056454579149292445617183030181366738458916705652257762308970914359829227563055109099244374481636168346350705178332927409802399332821130295773706348565667844287344189077937603619767318217963131540358519321010544310329362465248617772590889659683113584366702891173311118549184659497758766503979167710921588938226806751994623972059430036169861232417043281016831207150344814057457397137917373488794131531002376982836811331378068305363645150725055034260093741186483001055015796349511481658355547587679590904278448310658532441426724962370711537265460190755819019983227238284582550919454880855224636961682186671419565724759057771795934013029580537545308728663714791115299229243058301787494598937479901438548985173054502743887225548477487052599817475656964286913104224135930269363865107938434389237748391824670271555919748166491771907865899646791856902718548868012478927971225487401759461858186852825728370613542277337881703059949256008830239441079321535506358092777112401121412329505203760009698194932685418803655013654608351271679013248539669097022738714694359377402224272790553497871871495316806946452065584691081715303441581588051892047772797207900733409672226694547165758048982276584884922176872907902230310501432967593143044294808740560694375646473422428065302862963351345523879867527750171467951456081340736152072715920767071336551412514661682171324605280425358035469255283200414660692997670864314619238835624867922070280494250815882751083381173702739893854390689598498342118782987594809381148014836486693869498180195918056082762396375329227233954363599181510621180351195754691070890642072218626931706145950827762518177091888596286017961699549767956761558377301018455733893193513230484698040546511501143538205069173973778233739802391553777384879688656948563153007541286539172221001454626818902831811132263339412259731895125368021381579405046769095469358500914666825037174041852628975793708672625433487953350780893100620276022440882384652414334292829759165215050380371074651814748141579878926051779573676081944233050505212858111557745244419818998740806043568047683297162238249924559697010410782346678592597930413000324898320096378600165049583620263512845295704392050660471216223447446775361334129087525992804688074058857100085111496261154269559637113767291145764123279109338458736313728747346734896097492033636814591781657226212300833149249567170273750888426599090000652414636705781574493284302578439943573774612840947870392146266434383229774283483393414849888085680224656175893257031514092766946898448276703635438034229227418188950457473740237325048073513956472440573483761119630501419628182656810739570401949848325101429837671408186997827260294736808552010967055798101798512145548191945262277663974339739498090953908612471771206299774348579792746291321981461418263487784595363143048425408716172692110768463876785805623952598332619889852761053356072864423682987611867525993150894628819077313135175879233357782887693095125861826853457662644774759396022060464850775174649399021190464194969995237762260726075156199800839083935444324271858903617849237504223805532609379858001055109540770199842739618110164336729893647273087564673901006985111667012653079649224866024424216159410743135061568518675144488253800705345993008090350036602449337856115902559348210088621465959015429080336085835764432406358955119315311843667838271313534844486265344712612347429401406323879046312067393994476202567862360366017714930563418021748113585833175678748666972896192718092375380436965082840614194967047058919884863350701817722664923208875756617568624363518290263064307379095311164037625793095877254199654054397913444678576194599073381206382924728448457535419614189856699991934162146689870575420407385521446431734132864788024617439599833246358390800817682377815991306238658686998289275480725325137230683560019087983286684100577110550717834288630988127153727155587966544376307318415137757271938395637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不好意思，由于这个数实在是太大了，完整复制过来知乎不允许. 所以上面列出来的仅仅是这个数的前 位，剩下 位的数字不得不省略！若想知道这个数具体是多少，请移步链接：

不知道 Archimedes 是否有考虑到这么多的牛一个小小的西西里岛根本装不下！事实上，就算是换成同等数量的半径以 米 计的 夸克，它们的体积也会达到恐怖的

立方米. 而另一方面，如果可观测宇宙的半径以 亿 光年 计，则其体积大约才

立方米. 所以不要说这个数量的牛群在小小的西西里岛放不下，就算是换成同等数量的极其微小的 夸克 放在整个宇宙中也装不下！