为什么行列式恰好能表示体积？ 第1页

其實我覺得行列式 = 有向體積這件事，若要直覺理解，在矩陣代數算是超綱了。應該說恰巧在普通矩陣運算可以找到初階證明，但基本矩陣代數對高維體積的理解其實是不完全的。我覺得最好的直覺理解還是從多線性代數 (multilinear algebra) 跟張量來看。

n 個向量 ，在多線性代數中很自然的表示成一個數學物件：

為了計算這個物件所圍出來的體積， 體積的定義就要符合 n 維有向體積的直覺。對這類物件，我們不妨這樣定義有向體積：

(1) 這種單位正方體，定義體積為 +1

對奇數置換 ，不同手性的正方體 的體積定義為 -1

對偶數置換 ，不同手性的正方體 的體積定義為 +1

(2) 如果 k 重積 ( ) 中，獨立的基底小於 n 個，則定義體積為 0

例如 的體積為零，的體積為零

(3) 向量 k 重積 ( ) 可以對基底分解，並維持線性關係。也就是說：

，類似公式要對n個向量也成立

那麼，用上面 (1)-(3) 的規則，直接計算 的體積，就會得到 n 維行列式公式了。這裡唯一比較人工的過程是: 為什奇數跟偶數置換的手性要分別定義成正跟負的? 這是因為我們希望有向體積是個純量，而翻轉座標軸時這個純量應該變號。