可否介绍一下高维复动力系统这个领域？ 第1页

第一次在知乎看到量身定做的题目，泪目。。。

博士题目是关于高维复动力系统，所以想聊一下这个领域的历史和研究现状。才疏学浅，有说的不准确的地方欢迎大家指正。

高维复动力系统兴起于上世纪九十年代初 (如果除去Fatou，Poincare等人早年关于局部动力系统的工作的话）,算是一个比较年轻的研究领域。1990年左右Fornaess-Sibony和Bedford-Smillie开始研究高维复动力系统（P^k上的全纯自同态以及C^2上的多项式自同构），定义了例如Fatou-Julia集以及Green current等基本的对象。这些研究主要是受了两方面的启发：首先是一维复动力系统的发展，c.f. Sullivan，Milnor，Thurston，Douady-Hubbard等人的工作。其次是高维双曲动力系统的发展，c.f. Smale，Sinai，Ruelle，Bowen等人的工作。

广义的来说，高维复动力系统就是研究复流形上全纯映射的动力系统，或者是研究全纯叶状结构（foliation）。目前大部分研究还是在P^k或者C^k上。从研究的对象来看大概可以分为以下几类：

1. 研究相空间，比如Fatou-Julia集，不变测度，吸引子等等。c.f. Fornaess，Sibony, Bedford, Smillie，Lyubich, Dinh, Dujardin等人的工作。
2. 研究参数空间，稳定-分叉现象，c.f. Dujardin, Lyubich, Berteloot, Dupont, Bianchi等人的工作。
3. 也可以在一般的代数曲面上考虑复动力系统，c.f. Cantat, McMullen, Bedford等人的工作。
4. 研究全纯叶状结构，c.f. Dinh, Sibony, Nguyen等人的工作。

此外，高维复动力系统除了有这些来自自身的问题，也与其他领域有很多联系。

1. 与代数几何的联系。我所了解的联系主要是通过动力系统的方法去研究代数簇的自同构群或者双有理自同构群。比如Cantat-Lamy证明了二维Cremona group (P^2的双有理自同构群）不是单群。c.f. Cantat, Lamy, Dinh, Oguiso, De-Qi Zhang等人的工作。
2. 与多复变的联系。最主要的联系是多重势论在高维复动力系统中的大量应用，比如最基本的Julia集的定义也离不开多重势论。此外，应用动力系统可以构造出一些有趣的例子，比如Fatou-Bieberbach domain，C imes C*在C^2中的Runge embedding （Bracci-Raissy-Stensones）等等。c.f. Fornæss, Sibony, Bedford, Smillie，Dinh等人的工作。
3. 与算术几何的联系。我所了解的主要是和Arakelov几何的联系。比如Demorco-Kreiger-叶和溪最近用动力系统的方法证明了一个一致版本的Manin-Mumford猜想。张寿武等人提出过一系列猜想，把阿贝尔簇上一些著名的猜想/定理类比到P^k上的复动力系统中。此外如果把基域C换成非阿基米德域，也导致很多有趣的研究，甚至对原本在C上定义的问题也有很大的帮助。c.f. 张寿武，袁新意，谢俊逸，叶和溪，Demarco，Kreiger，Silverman，Favre，Jonsson等人的工作。

此外高维复动力系统作为动力系统的分支，与其他动力系统方向有很多联系，比如对双曲系统（包括部分双曲和非一致双曲）的研究，对Zimmer program的研究（Cantat，谢俊逸），对测度刚性的研究（Cantat，Dujardin）等等。在此就不多赘述了。