对于当今数学来说，「几何」到底是什么？ 第1页

因为答主不了解代数几何，所以主要是介绍微分几何中的，代数几何可以理解成将度量的范围扩展到了多项式的零点，准确来说是代数簇（Algebraic variety）上。

而代数簇的一个常见例子是平面代数曲线，中学学的直线，圆，椭圆曲线等都算，除此之外还有三次曲线，四次曲线乃至n次曲线。。。

是不是有一股亲切感涌上心头，“这不就是解析几何吗?”

一群年轻人企图一晚上理解Grothendieck深邃的思想.jpg

用简单的一句话概括就是：研究带有度量结构的集合，以及这些集合之间的关系。

而一个几何对象一般由点集（Set）层，拓扑（Topology）层，联络（Connection）层，度量（Metric）层四部分组成。

点集层处于最基础的位置，因为现代数学构建于集合论（Set theory）之上。

拓扑层提供了许多重要的性质，除了喜闻乐见的连续性（continuity），还有连通性（Connectedness），紧致性（compactness）等。

联络层则是提供了平行性，常见的有仿射联络（Affine connection），其中的不变量挠率（Torsion）和曲率（Curvature）也是非常重要的性质。

而度量理解成内积便可，可视作距离这一概念的推广：

如最常见的n维欧几里得空间，其度量便是n维的勾股定理。

以Riemann几何为例，解答下你的问题：

研究各种相交、长度面积体积、夹角、弯曲程度等等

相交即为平行性的问题，可以由联络（Connection）给出。

长度面积体积，夹角可以用度规张量（Metric tensor）刻画。

弯曲程度也就是曲率，则用Riemann曲率张量（Riemann curvature tensor）刻画。

但现在很多书名中带着“曲线”、“曲面”、“几何”之类字眼的教材里甚至可能一个图都没有（如果那些箭头的图不算的话）

不是所有几何对象都可以画在纸上的，按照我们中学所学的平面/立体几何的画法，其实就是将这些几何对象投影到纸这个平面上，这本身具有极大的局限性。

像什么三维球面便能够把大部分人难住了，你以为球面画法（比如二维球面）：

这是建立在我们的肉眼能够很好地理解二维和三维事物的基础上，而对于一个超球面（维数＞2），比如三维球面：

怎样，是不是如同鬼画符?

实际上这两张图片都是在wiki百科上找的，实在懒得举例子了，这里直接贴wiki百科的描述：

三维球面的平行线（红色）、 子午线（蓝色）以及超子午线（绿色）的立体投影法。 因为立体投影法的共形特性，这些曲线彼此在交点上彼此正交（图中黄色点），如同在四维空间中一样。所有曲线都是圆；交会在<0,0,0,1>的曲线具有无限大的半径（亦即直线）。

然而我们只需要短短一行便能定义n维球面：

而n维球面不过是流形的一个简单例子，我们将来还可能会遇到诸如无穷维Lie群这种听起来就很哈人的玩意。。。em

至于所谓的“箭头图”，很可能是交换图表，常用于范畴论（Category theory）中，可以用来直观地表达一些性质。

最后，重要的名词都加粗并附上英文了，有问题google，如果想系统学习的话先把微积分和线代搞定再说，推荐Thomas微积分和线性代数应该这样学（Linear Algebra Done Right），接着可以看梁灿彬《微分几何入门与广义相对论》前五章。

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现在这哪有图啊，这都是交换图

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