为什么矩形面积等于长乘宽？ 第1页

几个高票回答荒谬绝伦，本末倒置，拉虎皮扯大旗。一个显而易见的道理，一个概念，绝不可能是一个几千年后出现的后起概念反推出来的，否则我们在读古籍时肯定有乌央乌央的穿越事件的记述了。各位，请看看高票答案用的词都是些什么词：连续，测度，积分，内积空间，正交变换…… （我的个娘来，往前推十年，光这些词儿，就能把我唬得窜稀。） 这些概念，早的也不过17世纪，晚的甚至是19世纪才出现。长方形面积这么平常的概念，怎么可能是由几千年后的这些新概念反推出来的呢！

概念的拓展和严格化，首先应当保证拓展化后的概念在特殊情况下与原概念一致。在长方形面积出现几千年后，人们把 中Lebesgue可测集 的Lebesgue测度 定义为的面积，至少就应该满足，当为长方形时， = 长x宽，否则它又有什么资格成为“面积”呢？再说了，中Lebesgue测度是怎么定义的？不就是两个一维Lebesgue测度的积测度嘛。那两个测度 的积测度是定义的？最基本的公式： 。搬出了一个19世纪才出现的，非数学专业很可能不知道的新概念，来合理化“长方形面积=长x宽”，然而在这个“高大上”的概念的底层，就隐藏着“长方形面积=长x宽”，这不是拉虎皮扯大旗是什么？

（插一段，有人提到Russell 证明1+1= 2. 如果在Russell的理论中 1 + 1 2, 那他在定义一, 加法, 二这三个概念时就得换符号了。）

还有人说用积分…… 测度这个虎皮还大点儿，能装起来，积分盖都盖不住啊！积分怎么求面积？不就是划成很多小条条，把每个小条近似成长方形，取 长x宽（窄？）然后加起来嘛。在积分的过程中就已经用到了 长方形面积 = 长x宽 的假设，怎么又反过来再用积分倒推长方形面积呢？

再说了，弄测度，就不需要搬出什么内积空间，什么正交变换了。测度只需要一个 -代数结构就够了，就算研究 ，加上一个加法拓扑群结构就够了。内积空间还要在 再定义一个内积…… 我真不明白为什么好几个答案非得要扯上 的Hilbert空间结构。这些结构是独立存在的，不是说非得一个集合上又得有这结构，又得有那结构。是常见的结构都有，但别混淆各个结构的作用。说二维平面的全等，那也请说平移，镜面对称，旋转，因为这些词直观易懂，而且很容易严格地描述。漏了平移，还把镜面对称，旋转合并成一个吓唬人的“正交变换”，没那个必要。正交变换一般是Hilbert空间理论（不完备的内积空间不好玩儿）的名词，没专业学过数学的人并不好理解的。

就算要证明（好的）长方形面积定义 只有 长x宽，只需要假设面积的平移不变性加一个所谓的连续性即可，不需要什么“正交变换”。而且这个方向早已被人家玩到极致了，人家早就证明：在一个局部紧致（Hausdorff) 阿贝尔群上，在相差一个常数的情况下，存在唯一的一个非平凡，平移不变，局部有限，正则([inner and outer] regular)测度，后世美其名曰 Haar measure. 这个Haar measure在 上就是最普通的 ，就是普通的长度；在上就是，就是最常见的面积。当然，对于长方形来说，它的 Haar measure 就是 长x宽。

这个推广，这些词不更显得拉风？不更显得宗教化？不更能引得无脑少年的点赞？我煞有介事，故作高深地讲完这一套屁话之后，然后告诉大家，“你看看，长方形面积 = 长x宽 背后有多么多的故事！”多少人得被唬得一愣一愣的？但这有什么逻辑呢？这明明是 长方形面积=长x宽 所引发的连环惨案（当然还有其它帮凶），而不是 长方形面积=长x宽 背后的故事！“今日適越而昔至”，必然是不可能的；怎么就能靠一些专业名词的堆砌来反转时间关系呢？

任何普通的，大众化的交流，当极力避免引用专业名词，否则很容易陷入一小撮专业人员狂欢的境地。知乎不是学术期刊，把简明的事物解释得让非专业背景的人看着极为费劲的答案，可以说99%以上是在唬人。但凡你有看不懂的答案，请不要冒然点赞！（包括本篇屁话）

不信？我还能给你扯。有人非得把 上Hilbert空间结构和测度联系起来吧，对吧？我能把所有Hilbert空间上的“好的”测度都给你找出来，并且告诉你，没错，它对于长方形还是长x宽。“我给你说吧，长方形面积 = 长x宽 真的就包含了整个数学中最深奥的哲理！爱信不信吧。”

我今晚吃了一个冰糕，不是计算好了要补充多少糖分，多少卡路里，更不是为了在寒冷的冬天里用冰糕刺激我的孤独，以写出美丽的诗篇，寄希望于流芳百世——即便这一切碰巧成真，也不是我吃冰糕的原因。——我吃冰糕，就是路过小超市临时想吃一个冰糕而已！没那么多深意。

那矩形面积为啥是长x宽？简单，好用，直观，用了几千年都没出什么篓子。没那么多深意。

我们先承认以下几个事实吧…

1.边长为1的正方形面积是1

这个假设是很自然的…因为边长1的正方形总要有一个面积吧！定义成啥无所谓的…

2.如果一个矩形是几个内部不相交的矩形的并，那么大矩形的面积是那些小矩形面积之和

这个假设很自然吧…

那么现在边长是整数的矩形的面积等于我们期待的面积公式了

事实上边长有理数的也对，只要假设:

0.边长分别相等的两个矩形的面积相等

之所以用0是因为忘了这回事…

然后，边长分别为1/n，1/m的矩形面积是1/mn，从而对边长有理数的矩形，面积等于长•宽

3.两个矩形的长相等，则宽大的面积也更大，宽相等，则长大的面积也大

这样，对边长是实数的矩形，结论也成立了

事实上这个问题本质上是…Cauchy函数方程的单调解在规范化假设下是唯一的…就是线性的解

如前面的答案所说，可以证明：

矩形面积=单位正方形面积*矩形长*矩形宽

只要要求面积具有一些自然的性质，比如平移不变性+（有限）可加性+非负性。

（以及矩形和其它的一些图形的面积存在）

证明大意是这样的：如果矩形长宽都是有理数，可以用简单地把若干个矩形拼接，再把若干个单位正方形也拼接在一起，指出两者相同，来证明这一点。如果是无理数，则要先把它放缩成有理数，再用有理数逼近它来证明。这样得到了一般实数的证明。

但是我要说的是另一件事：勾股定理可以绕开面积法证明吗？

（这里采用初中平面几何的逻辑体系，虽然可能不够严密，而不是把平面几何定义为二维实内积空间中的几何）

要知道，我们标准初中课本上的证明，比如弦图，或者《原本）的证法，都是用了面积法。

一个比较好的候选的非面积证法，是用相似三角形的证法。考虑直角三角形ABC，角A是直角。做BC边上的高AD。那么用相似三角形的判别法，三角形ABC，DBA，DAC相似。于是我们有

和 （这两个公式称为射影定理），相加就得到 ，即是勾股定理。

然而，在证明过程中，我们用到了相似三角形的判定定理。然而，相似三角形的判定定理，依赖于“平行线分线段成比例定理”：

如图，三条水平线两两平行，两条直线分别交三条平行线于A，B，C和D，E，F，则

如果AB=BC，则可以用全等三角形证明DE=EF，此时就是“平行线等分线段定理”。“分线段成比例定理”中，如果成的比例是有理数，当然可以添加更多的平行线使它们等分线段，再用“等分线段定理”证明；如果是无理数的话则不能直接这样做。更早一点版本的课本有“分线段成比例定理”的证明，还是面积法：

这样看起来，我们的证明又回到了原点；这个勾股定理的证法，还是面积法，只不过面积的应用隐藏很深，非仔细分析无法发现。

然而，其实我们完全可以用“有理数逼近无理数”的做法，用“等分定理”证明“成比例定理”，而不借助面积。我们可以用“等分定理”（它可以用全等证明）容易地证明，如果一个整数之比（有理数）小于 ，那么它一定也小于 ，反之亦然。这样根据实数的完备性，就知道两者相等。用非面积法证明了“分线段成比例定理”之后，就可以顺着下来，不用面积法来证明相似三角形的判定定理和勾股定理。

总而言之，勾股定理是可以不用面积法证明的，但是一定要用“有理数逼近一般实数”的手法，用到实数的完备性。这种做法显然是不可能给中学生讲清楚的，只能用（未严格定义也没有证明过的，但是直觉上很好理解和接受的）面积法来“投机取巧”。“矩形的面积等于长乘宽”，本身就需要用“有理数逼近实数”来证明，所以这个结论蕴含了这种“逼近”手法，也就可以代替“逼近”法的证明。

如果对两千多年的的古人解决这个问题的方法感兴趣，可以参考《几何原本》的比例一章。当然如果是为了学数学，就不需要看古人的东西了，可以参考数学分析中的实数章节。

题主问这样的问题，有点像哲学上的我是谁，我从哪里来，将到哪里去了？

其实这个问题没有想象的那么复杂。古人只用最简单的知识就得出来了。

科学发展到今天，是一步一步，由简单到复杂而来的，并不断接受实践的检验。

从猿猴演变到人，从会用火，狩猎采集到农耕放牧，人类在一点一点的认识和改造世界。

这个过程中必然要产生数学，首先从计数开始，发展到加法、乘法等运算。

数学除了计数，自然就是图形。

人类见得最多的简单图形是什么？

必然是圆，因为每天早上抬头就能看到天上的太阳。

看到了圆，人类慢慢的也学会了怎么画圆。

正所谓无规矩不成方圆，无论中国还是西方，都是用规画圆。

与规伴随的就是矩，矩就是木匠用的曲尺。

为何矩与规伴随？

因为人类画了圆以后，发现圆可以分成四等分。

于是就有了矩。这都是在实践中自然得出的结果。下图中那个直角曲尺就是木匠用的矩。

人类在生活中会计数，过程中也必然会对物体的长度、大小、重量等进行度量。

计数的基本单位就是1。后面慢慢的发展出分数、小数。

长度很好说，很直观，直接累加。

关键就是大小，怎么来度量？大小有区别，比如水果的大小，跟土地田野的大小，肯定度量方式是不一样的。

还是先度量土地大小，土地是赖以生存的基础，有了土地啥都有了。

这里矩就出场了，矩可以很好的画出矩形。

矩形中有一个很特殊的，就是长宽相等的，也就是正方形。

这下就有标准了，如果正方形的边长为1，那么这个正方形就可以作为度量其他图形的基准了，也就是大小就是1，也就是面积就是1。

当有其他长方形的时候，都是可以分割成许多小正方形的。那么长方形的面积不就是这些小正方形的面积相加吗？直接数一数有多少个小正方形就行了。

人类很聪明，在数的时候发现，当小正方形很多时，一个个数起来好累哦。

这时，直接用乘法不就得了吗？

看看长有多少个正方形，宽有多少个正方形。直接相乘，不就出来了。

所以，长方形的面积就是长乘以宽了。这是在实践中一步步得出来的，可以说是从最基本的推导出来的，是逻辑建立起来的。

几何原本就是在最基本的知识和公理上，一点点推导出其他知识。

中国在近代科学上落后，很大原因就是中国的数学是以案例为基础的，不像《几何原本》那样是以公理化体系、逻辑推理建立起来的。

所以，题主，明白矩形面积为何是长乘宽了吗？