不规则四边形内如何获得面积最大的椭圆？ 第1页

这个问题挂出来已有两个多月了，至今没有收到解答，看来难度的确不小。这是一个有趣而富有挑战性的问题，本人终于找到了解决方法，在此奉献出来，算是自问自答。

对该问题曾尝试过许多方法，都无果而终，比如仿射几何或齐坐标变换等。因为是不规则四边形，无论作纵坐标，横坐标单独或综合进行仿射变化，都不可能将之变为对称四边形(如矩形或菱形)，而对称四边形的最大内切椭圆问题则可以解决(参看文章：趣味数学(5): 极值问题的可视化求解 - dchen505的视频 - 知乎 https://www.zhihu.com/zvideo/1485602750087593984)。 由于事先不知道最大内切椭圆与四条边相切的具体位置，也无法用齐坐标变换方法求解，只好用代数法进行硬解，这是本人经历的最复杂的方程求解问题，也是本人尝试过的各种极值问题中的得意之作，在解决过程中学到不少新的知识，特此分享给大家，请耐心往下看。

I) 凸四边形最大内切椭圆问题解法：

将椭圆标准方程： (其中 ) 沿X轴旋转 (弧度)，方程化为：

, 简化为:

(1)式： ，其中

(2)式：

(3)式：

(4)式：

可见 为非负实数。

将椭圆中心由坐标原点移到 , (1)式化为：

(5)式： ，

这是平面中任意一个椭圆的方程表达式，其中含有 五个未知数，与四边形的四条边相切，得到四个方程，可以消除其中四个未知数，保留一个未知参数，这便为获得最大内切椭圆提供了理论保证。

(5)式两边对 求导：

，得：

(6)式：

为简化起见，将四边形 的 点置于坐标原点， 置于X轴，如下图：

#1. 椭圆相切 (X轴) 于 点 ，即 , 由(6)式得：

，即 ，

点 在椭圆上，代入(5)式，有：

，得

(7)式： 或

注：因 ，故 （需确保 ),

得到椭圆中心纵坐标 与 A, B, C的关系式。代入(5)式，便可消除一个未知数 。

#2. 椭圆相切直线 于 点 ， 的斜率 (已知数), 即

, 根据 直线方程

, 代入： ，解得：

点 在椭圆上，满足(5)式:

将 的表达式代入(一个复杂的方程)，整理得到：

(8)式：

这样便得到椭圆中心坐标 与 A，B，C的关系式，代入(5)式，便可消除两个未知数。

同理，根据椭圆相切直线 和 于 点，两直线的斜率分别为：

和 ，可以分别导出：

(看上去简单，推导过程却很复杂，这里从略)

再将 的表达式代入，便得到两个很关键的方程：

(9)式：

(10)式：

对于每个 B 的数值，便可确定 A，C 的数值(视A，C为变量，B为常量)，方程展开除去根号，会变成关于A和C的二元8次方程组，不可能获得实数范围的代数解（一元5次以上方程便没有根式表达式了），那该怎么办？可用牛顿求根公式的向量拓展形式（视多变量为一个向量）求得数值解。为了便于习惯上看，将变量 分别记为： 。 定义函数：

方程组: 和 的根等同于(9), (10)式的根。记偏导数：

根据 的数值，选取恰当的初始值 (即 的初始值 )，有快速迭代公式：

等式右边分子分母的各项函数在 处取值 ，这是一个收敛速度很快的高效算法。

的取值范围和初始值 的选取有一定的讲究，不能随便乱取，否则很可能收敛不到正确的根。该如何选取呢？以具体的例子来说明这一点：

设四边形的四个顶点坐标为： , 相应四条边的斜率为：

。

从(2), (3), (4)式知道：A, B, C取决于椭圆的大小(半长轴a, 半短轴b) 和方向 (长轴与X轴的夹角 )。如下图，在四边形内取一个初始椭圆，不要求和四条边相切，但a和b不能超出四边形两条对角线的一半，大致估计一下，可取初值 ，注意 是辐角 的周期函数, 按(3)式，周期为180°，因此 可以在0到180°内任意取值(化为弧度), 例如取15°， , 则初始椭圆如图中绿色虚点所示：

于是获得一个B的数值和A，C的初值：

代入上面求根公式的迭代序列，很快收敛到一个正确的根(只需迭代4步便可获得6位正确小数):

有了A，B，C的数值，便可确定椭圆的大小( 的值)，方向 和中心位置 ，该椭圆便是正确的椭圆，如图中红色椭圆所示，与四条边均相切。

如何计算它们的数值呢？ 可由公式(7), (8)直接算出， 的值可由方程组(2), (3), (4)推算，但解方程比较麻烦，可以简捷推算如下，需将(5)式化为标准方程。

首先：将椭圆平移，令 , (5)式化为：

(11)式:

将椭圆反向旋转 (弧度), 或坐标轴正向旋转 (逆时针方向为正) 以消除交叉项 .

，即 ，

令 ， 代入（11）得

(12)式： ，其中

将(12)改写为标准方程： , 其中

现在可以进行计算：

根据求根结果， , 而 是带入参数, ，得：

，

椭圆方向

(椭圆旋转 可调整到水平方向), 根据(7),(8)式算出椭圆中心位置：

。有了 的数值，便可确定这个内切椭圆的面积： (当然这个椭圆不是最大的)。

因为初值 是随便取的，当 连续变动时(决定了 值连续变动)，便得到一个有趣的动图, 椭圆总是与四条边相切，参看视频：

当自变量 取遍区间 的数值时，得到 A，B，C变化曲线及相应的椭圆面积曲线，非常有趣的是，内切椭圆在 和 时均取到相同最大值 ，而且在该区间内居然有唯一的最小值，极值点 时取到最小面积 .

至此，已成功解决了凸四边形最大内切椭圆问题。前后花费不少时间，但觉得很值，点赞一下吧，谢谢！

补充说明：

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本文方法是针对最大面积椭圆需要和四条边均相切的情形。

对某些情形，比如三角形形切去一个小角而形成的四边形，与其中三条边相切则能获得面积更大的椭圆。如何判别用三条边相切还是用四条边相切构造最大椭圆，可以如下操作：

挑选最短的一条边 (如图，设最短边为GH), 将相邻两条边EH和FG作延长线交于K点。形成三角形EFK，在三角形内取最大内切椭圆，若椭圆不超过边界GH，那么该椭圆也是四边形EFGH的最大椭圆。若超过边界，则按上文方法处理。至于三角形内如何取最大内切椭圆，可以查看文章：

数学随笔8：三角形内接椭圆问题集锦 - dchen505的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/460022986

感谢大家的点赞与评论，感谢 @mathe 提供的射影几何方法，得出相同的数值结果。

II) 凹四边形最大内切椭圆问题解法：

凹四边形可以看作三角形内取一个点作为凹点，与两个顶点作连线形成的四边形。根据凹点的不同位置，可分几种类型：

浅凹型：凹点靠近某条边；深凹型：凹点远离某条边；中凹型：凹点在三角形中心附近。

无论何种类型，凹四边形最大内切椭圆问题与凸四边形不同，可以用几何方法解决该问题，处理起来相对简单，先叙述两条与该问题有关的引理。

引理1：任意两个面积相同的三角形，其最大内切椭圆面积相同；

引理2：任意三角形，其最大内切椭圆面积与三角形面积之比 (恒定值)

显然，若引理2成立，则引理1也成立。这里给出引理2的证明。

先引用仿射几何的一个基本定理：仿射变换保持平面图形的面积比不变。这个定理的证明在仿射几何可以找到，百度搜索一下即可，这里不打算给出证明，但可以简单验证一下。以三角形为例。

如图，三角形面积 , 设仿射变换：

仿射后三角形面积

面积之比 这是个定值，只与横坐标，纵坐标的缩放比 有关，与三角形本身面积大小无关。

我们知道，在正三角形(等边三角形)的所有内切椭圆中，以内接圆面积为最大，证明可以参见上面提到的 [数学随笔8]文章，这里只是引用一下这个结论。

设等边三角形的边长 , 则 高 。正三角形面积 , 其内接圆的圆心位于正三角形的重心，内接圆的半径 , 内接圆面积

内接圆面积与正三角形面积之比

根据仿射变换保持面积比不变的特性，当正三角形映射成任意三角形时，其内接圆映射成面积最大的椭圆。因此对于任意三角形，其最大内切椭圆面积与三角形面积之比 ，引理2 证毕。

根据引理2，三角形面积越大，其最大内切椭圆的面积也越大。因此，要寻求凹四边形的最大内切椭圆的问题就变得简单了，只需在凹四边形内找出最大三角形就行。

任意四边型最大的内切椭圆必须至少和三条边相切，对于凹四边形，最多只能与三条边相切，因此凹四边形的最大椭圆就只能与三条边相切。为求取最大内切椭圆，以一个具体实例来讲述：

如图，设四边形EFGH的E点位于坐标原点，EF置于X轴，G为凹点，各点坐标如图。

过凹点G作FG的延长线交EH于K点，作HG的延长线交EF(X轴)于L点，可以求得K点坐标为(3, 4.5), L点坐标为(6, 0)。可以算出，

三角形 EFK 的面积

三角形 EHL 的面积

三角形EFK的最大内切椭圆如图中红色椭圆所示，按引理2，其面积

该椭圆的中心位于N点 (称为椭圆N)，以下将阐述，椭圆N就是凹四边形内面积最大的内切椭圆。

该椭圆不经过凹点G。那么是否存在经过G点的更大面积椭圆呢？这是不可能的。按引理2，只需证明在凹四边形内不存比EFK更大面积的三角形就行了。

因为是凹四边形，其最大三角形必须经过凹点G，否则在四边形内任取一点M，以四边形的两条边和过M点的直线形成的三角形，其面积要么小于EFK的面积，要么小于EHK的面积。这是因为，三角形面积 = 。底边的最大值为 EF=9, 高的最大值=6，如果底边取最大值 (以F为一个顶点），经过M点的三角形，其高度不会超过K点的高度，否则就超出四边形的边界了，因此面积不会超过 。同理，若高度取最大值（以H为一个顶点），其底边的长度不能超过EL，否则就超出边界，因此面积不会超过 . 所以，凹四边形内，不经过凹点的三角形，其面积不可能超过 .

那么，经凹点G，能否作出比EFK更大面积的三角形呢？比如以牺牲底边的一些长度换取更大的高度从而获得更大面积呢？这也是不可能的。

如图，在线段LF之间任取一点P，坐标为 ，其中 ，直线PG交EH于Q点，可以求得，Q点坐标为： ，三角形EPQ的面积

该函数曲线在区间 内是单调递增的，在 取最大值，也就是 P点移动到F点时，三角形面积最大，因此，过凹点G的三角形，以EFK为面积最大的三角形。

可以看出，过凹点G的直线PQ，必须处于两直线FK和HL之间，准确地说，PQ的斜率 必须介于直线FK的斜率 (-0.75) 和 HL的斜率 (-3.0) 之间，即 ，否则直线将跑出四边形的边界。

回到之前的提问，经过凹点G的椭圆，是否存在比椭圆N更大的椭圆呢？

设椭圆M(图中绿色椭圆)是经过G点，与EH和EF两条边相切的任意一个椭圆。以G点作椭圆的切线PQ，上面已经说明，该切线必须处于两直线FK和HL之间，否则切线PQ或椭圆M将超出四边形的边界。椭圆M其实是属于三角形EPQ的一个内切椭圆，面积小于EPQ的最大内切椭圆，又因为三角形EPQ的面积小于最大三角形EFK的面积，因此椭圆M的面积必定小于椭圆N的面积。因此，椭圆N也是凹四边形的最大内切椭圆。

概括而言，凹四边形内如何获取最大内切椭圆，只需找出其最大三角形，可由凹点作延长线获得两个三角形，其中一个就是面积最大的三角形，在最大三角形内取最大内切椭圆，就是凹四边形的最大内切椭圆。

至此，关于任意四边形的最大内切椭圆问题以完整解决，有何疑问，欢迎提出和评论。