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2.什么是赫姆霍兹定理? 第1页

  

user avatar   liuqi-25-7 网友的相关建议: 
      

可能存在好多个亥姆霍兹定理,我只说说我在电动力学中学过的亥姆霍兹定理吧。

这个亥姆霍兹定理是麦克斯韦方程组能完备地描述电磁场的基础,它被表述为:如果已知一个矢量场每点的散度和旋度以及矢量场的边界值,就可以唯一地确定这个矢量场。


证明如下:

若 和 是满足条件的两个矢量场,如果矢量场不唯一,设

且在边界上 ,叉乘为 意味着存在一个标量场 ,使得

代入点乘为 的方程,可得

下面考察积分

其中 是边界上的面元,积分在整个场的边界上进行

利用高斯定理,有

积分对场所占据的空间进行,化简得到

因为在边界上 ,则 ,即

而已知 , ,显然,在积分空间即场空间任意一点

说明是同一个矢量场,则亥姆霍兹定理成立。


麦克斯韦方程组给出了 和 的散度和旋度,此时若补充上边界条件,就可以完备地描述电磁场。




  

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