从古典的解析几何到现代的代数几何，研究的问题都有些什么变化？又有哪些共同的问题？ 第1页

有些代数几何问题可以用解析几何，或者说更广义的“坐标几何”的语言来描述——当然你不可能指望只有高中和大一学的那种平面/空间解析几何知识，而不包含任何多项式理论。没有多项式的代数几何无异于没有三角形的平面几何。

比如著名的Mordell猜想：任何亏格大于1的有理数系数的代数曲线上只有有限多个有理点。更通俗的说，给定一个三元齐次多项式方程，你只需要计算一下他的亏格（光滑情形可直接由多项式次数得出），你就可以判断他（在射影平面上）是否只有有限多个坐标全为有理数的解。——有人可能会说这不是数论里面的丢番图方程问题嘛。不要限制得那么死嘛，丢番图方程不就是有理数上的“解析几何”。

知道一点现代代数数论历史的人应当知道Mordell猜想由Faltings解决，证明涉及的技术远远超出“坐标几何”或者丢番图方程的经典内容。比如说，绕不开 Galois上同调。

再举个（现在应该还没有解决）的问题：cubic fourfold的有理性问题。也就是说，5元3次齐次多项式的零点集是否可以由有理函数来参数化。纯粹表述这个问题应该不需要引入Zariski拓扑这些概念，不过到底用什么工具来解决么，谁也不知道了。