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如何证明单位圆周上n个点两两距离乘积的平方当且仅当各点均匀分布时取到最大值nⁿ? 第1页

  

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命题 单位圆周上n个点两两距离的乘积不超过

证明:设单位圆周的n个点为 (复平面上),则这n个点两两距离的乘积为

(Vandermonde行列式)

由Hadamard不等式:(上面,如果记 则 )

因此单位圆周上n个点两两距离的乘积不超过 QED

注:Hadamard不等式:(其实对复矩阵也成立)

定理3[Hadamard不等式]若是任意的n阶复矩阵, 则

证明:对A作QR分解:A=QR, 其中Q是酉矩阵,R是上三角阵. 作如下改写:则而是酉矩阵, 根据“酉变换不改变Euclid范数”可知则根据可知QED

Open problem: Euclid空间 的单位球面 上n个点两两距离的乘积的最大值是多少?




  

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