如何证明单位圆周上n个点两两距离乘积的平方当且仅当各点均匀分布时取到最大值nⁿ? 第1页
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RealFiddie 网友的相关建议:
命题 单位圆周上n个点两两距离的乘积不超过
证明：设单位圆周的n个点为 （复平面上），则这n个点两两距离的乘积为
(Vandermonde行列式）
由Hadamard不等式：(上面，如果记 则 )
因此单位圆周上n个点两两距离的乘积不超过 QED
注：Hadamard不等式：（其实对复矩阵也成立）
定理3[Hadamard不等式]若是任意的n阶复矩阵, 则
证明：对A作QR分解：A=QR, 其中Q是酉矩阵,R是上三角阵. 作如下改写:则而是酉矩阵, 根据“酉变换不改变Euclid范数”可知则根据可知QED
Open problem: Euclid空间 的单位球面 上n个点两两距离的乘积的最大值是多少?
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