《图灵传》中讲到「狄拉克基于抽象数学预言了正电子的存在」，其中细节为何？ 第1页

简单介绍一下狄拉克方程吧。

要谈狄拉克方程，必须先谈克莱因-戈登方程。克莱因-戈登方程的出发点很简单：基于最小替换原则，利用能动量关系，写出一个满足洛仑兹协变的波函数方程。

具体点说是这样：根据能动量关系 ，将E和p分别替换成算符，将该方程理解成算符方程，然后作用在波函数上。其中具体的替换规则如下图所示：

这样就得到了克莱因-戈登方程：

但是克莱因-戈登方程存在很多问题：

1、出现了诡异的负能量解；

2、利用该方程计算氢原子的精细结构，计算结果并不理想；

3、这是一个对时间进行二阶求导的偏微分方程，要想解该方程不仅要知道初态的波函数，甚至还要知道初态时波函数对时间的一阶导数。

重点强调一下第三个问题：薛定谔方程中波函数对时间只是求一阶导数，这样理论上讲我们只需要知道初态的波函数，知道系统的哈密顿量，我们就可以计算出波函数在任意时刻的状态（假设方程都能求出解析解来）。结果到了克莱因-戈登方程里，我们发现仅知道波函数的初始状态还不行，必须还要知道初态波函数对时间的一阶导数。

这就很是有点莫名其妙了，毕竟以前用薛定谔方程用的好好的，从来没考虑过缺条件的问题，怎么到了你这里还必须要知道额外的初始条件才能解出方程的解？

但是又不能轻易放弃克莱因-戈登方程，毕竟这个方程的基本假设看上去似乎没有什么问题。所以狄拉克的思考方向是：是不是克莱因-戈登方程的要求还不够严格呢？真实的波函数其实满足一个比克莱因-戈登方程更“强”的方程，在这个方程中波函数对时间的导数最高阶数只到一阶。

所以狄拉克就开始尝试写了一个如下的方程：

方程两边同时平方，就能得到：

上面这个式子必须恒等于能动量关系 ，这样的话这个方程两边同时作用于波函数上时就能自然而然地推导出克莱因-戈登方程。这就对α和β提出了要求，它们必须满足如下的关系：

下面问题就来了：α和β是什么？它是普通的数吗？

很显然不是，在一元数（实数）和二元数（复数）的运算中，乘法交换律都是满足的。但是狄拉克方程中的α和β并不满足乘法交换律。所以狄拉克猜测它们是一些别的什么东西，可惜狄拉克没学过四元数，否则他就会知道α和β事实上组成了一组四元的克利福德代数。狄拉克只是从矩阵的角度来考虑α和β，他认为α和β是一组满足上述关系的矩阵。

α和β矩阵的具体形式我就不写出来了，只要知道它们满足上述对易关系并且是一组4x4阶的矩阵就行了。最终，根据最小替换原则，把E和p替换成相应的算符，狄拉克得到了这样一个波动方程：

这个方程的解一共有四个，两个正能解，两个负能解。狄拉克默认这个方程是描述电子运动的方程，所以正能解就对应着电子，而负能解就对应着带正电的电子（正电子）。

至于狄拉克为了诠释负能解提出了“空穴”的概念我们就不谈了，毕竟现代的量子场论给出了更好的诠释方法。大家只要知道负能解对应着反粒子就行了。