百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



如何证明悬链线图像是双曲余弦? 第1页

  

user avatar   travorlzh 网友的相关建议: 
      

现在我们假设a≤x≤b间长度为L的曲线表达式为y(x),则有:

其中我们设

而y为悬链线当且仅当其势能达到极值(假设曲线的线密度为 ):

很明显这是一个带约束条件的优化问题,所以我们可以用拉格朗日乘子法把条件与目标函数结合,得:

由于泛函核F满足 ,所以我们可以使用Beltrami公式[1]来构造悬链线的微分方程:

现在代入并整理,我们就能发现存在固定常数使得:

于是乎:

现在对两侧积分,便有:

接下来利用cosh是偶函数这一性质,便有:

再做整理,我们就得到了悬链线最终的表达式:

其中出现的常数可以通过代入边界条件和优化问题的约束条件来确定。

参考

  1. ^摆线的那些事儿——数学界的大型装逼事件 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/126421949



  

相关话题

  1组(64个)原木和一个熔炉,最多能做多少火把? 
  在没有能量损失的理想台球桌上任意击球,球是否最终必然进洞? 
  如何看待山东大学泰山学堂数学取向要做大量的大物实验? 
  普通英国人的数学怎么样? 
  为什么n为素数时,n能整除2^n - 2,怎么证明? 
  一个半径为10的大圆能剪出几个半径为1的小圆? 
  请问这个不等式(微积分怎么证明? 
  马云说「数学是一切的基础,数学好的人要尊重其他行业,基础学科只有变成应用才能真正发挥作用」,你同意吗? 
  2 的 100 次方到底有多大? 
  能不能用简明的语言解释什么是非参数(nonparametric)模型? 

前一个讨论
裴擒虎有历史出处吗?
下一个讨论
作为女生,相同价格的黄金和钻石你选哪个?





© 2024-12-18 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2024-12-18 - tinynew.org. 保留所有权利