如何证明悬链线图像是双曲余弦？ 第1页
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travorlzh 网友的相关建议:
现在我们假设a≤x≤b间长度为L的曲线表达式为y(x)，则有：
其中我们设
而y为悬链线当且仅当其势能达到极值（假设曲线的线密度为 ）：
很明显这是一个带约束条件的优化问题，所以我们可以用拉格朗日乘子法把条件与目标函数结合，得：
由于泛函核F满足 ，所以我们可以使用Beltrami公式[1]来构造悬链线的微分方程：
现在代入并整理，我们就能发现存在固定常数使得：
于是乎：
现在对两侧积分，便有：
接下来利用cosh是偶函数这一性质，便有：
再做整理，我们就得到了悬链线最终的表达式：
其中出现的常数可以通过代入边界条件和优化问题的约束条件来确定。
参考
- ^摆线的那些事儿——数学界的大型装逼事件 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/126421949
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