数学在战争中能起到什么样的作用？ 第1页

下文讲的是苏联卫国战争时期，大数学家柯尔莫哥洛夫应用概率论知识尝试回答火炮射击效率最大化的问题。

节选自专栏文章宋维凯HEOM：译作——老师柯尔莫哥洛夫的生平和工作（6）：1940年代，苏联卫国战争中的工作、无偏估计、分支过程、编纂苏联大百科全书。

火炮射击理论（Kolmogorov-Wiener filter）

无论是作为全能数学家还是作为应用研究人员，柯尔莫哥洛夫都思维敏捷。他拥有迅速深入特定问题实质的非凡才能，选择其根本和最重要方面，并澄清有争议之处。

柯尔莫哥洛夫的火炮射击理论工作生动地说明了这一点，这部分的历史可以追溯到伟大卫国战争时期（1941-1945），柯尔莫哥洛夫的论文"The determination of the center of dispersion and the measure of accuracy resulting from a limited number of observations“[K126]（1942年9月15日付印）。作者在战时承担研究“如何根据实验数据估算火炮射击的精度问题”。 柯尔莫戈洛夫谦虚地指出，该文仅具有某种方法论价值，并对不同方法进行了批判性比较。

与苏联科学院斯捷克洛夫研究所，莫斯科大学数力系，火炮部队，海洋科学研究所等部门合作，柯尔莫戈洛夫对火力系统的效率进行了深刻的理论与计算研究。人们可以从柯尔莫戈洛夫的两篇论文中窥到这些研究的本质：“Number of hits in several shots and the general principles of estimating the efficiency of firing systems” [K129]和“The artificial dispersion of single-shot hitting and 1D dispersion” [K130]。

论文[K129]考虑一组n次射击的命中数 。 柯尔莫哥洛夫记 ，期望值 ，并定义了“射击系统效率特征”（efficiency characteristics of the firing system）。作者指出，“根据期望和概率进行估算”的相对优劣势，通常的论证往往不够清晰。他还提出了一个问题：可以表征火力射击系统效率的击中次数概率分布 ，其是否可以“置信地由单个值 代替， 可以称为效率特征。”

在对主题进行分析（[K129]第1段）之后，柯尔莫戈洛夫导出了概率 的系列表达式，并提供了方便实用的近似值及准确度表。

该论文研究的另一问题是通过对影响射击结果的因子进行分类，来最优化火力系统，并解决“人为偏差”（artificial dispersion）问题。

记第 次射击击中方位角 目标 的概率为 。令 为极大化 的组合（通常是唯一的），

令

问题是通过最大化每次射击的命中概率，是否可以保证系统的总体最大射击效率，即

。

文章说，在两种特殊情况：

并且事件 （在第 次射击中击中目标）是独立的，则成立。因此，在这两种特殊情况下，最优火力射击系统即等价于最大化单次射击的命中率。

但是，一般而言，这对于其他 情形是不正确的。因此，“为了达到最大的整体射击效率，应故意不时偏离单次射击的最大概率。”这是通过“人为偏差”进行的，在以下典型情况下将被证明是有用的：

“最重要的是，要命中一小部分，其数目远少于总射击数 。”

在第二篇论文[K130]中，柯尔莫哥洛夫考虑了“有人为偏差的情况，且射击和一维偏差满足给定限制，例如，在垂直于火力面的狭长地带（例如桥上）射击。“

1945年，柯尔莫哥洛夫获得了“伟大卫国战争劳动英勇奖章”，并在1944年和1945年获得了列宁勋章。