如何证明矩阵为零矩阵？ 第1页

先把表示 的矩阵想象成复系数的。它的jordan form的对角线上方不应该有1，否则它的幂的对角线上方就会有非0元素，也就是说 可以被对角化，得到的对角矩阵的有限次幂是单位矩阵，所以它的特征值形如 . 这同时表明， 也可以被对角化，可以假设 是 的一个规范正交特征基， 并且 对应的特征值为 . 假如 某项非0，那么该项所在的一列作为 的向量，它的模就至少是 ；在特征基下可以找到一组 使得 . 于是有如下的矛盾：

（这里 是复数的模， 是 向量的模）

最早：H. Minkowski, Zur Theorie der positiven quadratischen Formen, J.Crelle 101(1887), 196–202

易读的exposition(上面的证明出处)：James Kuzmanovich and Andrey Pavlichenkov, Finite groups of matrices whose entries are integers, Amer. Math. Monthly 109 (2002), no. 2, 173–186.

Serre的有关讲座：J-P.Serre, Bounds for the orders of the finite subgroups of G(k), in Group Representation Theory, eds. M.Geck, D.Testerman & J. Th ́evenaz, EPFL Press, Lausanne, 2007, 403-450.