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n - r = 基础解系的个数,这是为什么? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

所以该齐次线性方程组的解空间为

也就是说,解空间是系数矩阵行向量张成空间的正交补空间,即

由维数公式


我觉得这个观点很直观,可能我写得太简洁了,我举个例子说明吧。

解方程组:

我们把矩阵视为三个行向量的排列,

原方程组的解空间 是由三个集合的交集所决定的:

我们现在去分析每个 的几何意义是什么。

,内积为零,即两个向量正交。也就是说, 表示的是 中与 垂直的空间(正交补空间,可以证明这是一个线性空间),我们记为 ,故有

在解析几何中,

就表示法向量为 且过原点的平面。单个向量生成的空间维数是 ,平面(正交补空间)的维数是 ,两者之和恰好就是 的维数。即,

这个式子对于高维空间也成立。

如上图,红色向量是 ,红色平面是与之垂直的线性空间,其他向量与平面以此类推。

注意到 (红向量加蓝向量得到绿向量),这三个向量共面——线性相关。这三个向量实际上生成的空间是黄色的平面,它的维数是 ,等价于系数矩阵的秩等于 .

也就是说,我们最后要求的是与平面 正交的空间——刚好就是 轴,正是图片中三个平面相交的直线,即方程组的解 .


我们最后总结一下,

所以该齐次线性方程组的解空间为

也就是说,解空间是系数矩阵行向量张成空间的正交补空间,即

由维数公式 即可知,解空间的维数等于




  

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