矩阵的可交换性有什么几何意义吗？ 第1页

这个问题挺有趣，我先写一部分回答。最近期末了，等腾出时间来再慢慢补充。

将所有与矩阵 乘法可交换的矩阵全体记为

这是本文主要研究的对象，我称之为交换集.

一、 的代数结构

定理1 是一个有单位元的代数.

证 容易验证满足

故 ；又矩阵乘法自然满足结合律、分配律，所以 是一个代数，并且单位阵 为是单位元.

例1 考虑矩阵基的交换集

例2 考虑 ,其中

为 Jordan 矩阵，经过简单的计算，

而

所以

.

例3 令 ，则由例 2 可得

进而得到 ；但

.

例4 对角阵集 是 的有限维交换子代数. 设

易得

.

证 利用归纳法可得一般形式的结论，并且有

.

特别地，当 时，

.

定理2 是 的有限维交换子代数.

证 一个很平凡的事实：

而 可以张成 ，即

由 Hamilton - Cayley 定理，任意矩阵存的特征多项式为零化多项式，且次数不超过 . 设矩阵 的极小多项式为 ，则有

故

推论 当 时， .

案 是可能的，由例 2 可知，当 时，

； 也是可能的（例 3），并且绝大多数情况是这样的这一点由. 关于这一点，有一个很好的判别定理——

定理 3 若 ，当且仅当 只有一个非常数不变因子.

推论 为Jordan 矩阵，则 .

证略.^[1]

案 可见例 2、3 并非巧合.

显然 等价于

其中 表示 的第 行向量， 表示 的第 列向量.

于是 是 的解空间. 但是阶数太大需要冗杂的计算，所以我只给出 2 阶方阵的交换集：

定理 4 二阶方阵交换集

证略.

.

定理 5 若数域 上的两个线性变换交换： ，则他们至少有一个公共的特征向量.

证 首先说明，若 是 的特征根（存在性由数域 保证），则 是 的不变子空间：

这表明 ，故得证该断言. 于是， 是 上的线性变换，那么必存在 ，设该特征值所对应的的特征向量为 ，于是 就是两者的公共特征向量.

案 该定理说明，在数域 上 总存在非零解，由克莱默（Cramer）法则可知，的系数矩阵行列式为 0 . 另外，该定理更准确地可表示为：若 有 个特征值，则 与 的公共特征向量不会少于 个.

推论 若 有 个不同的特征值，且两者可交换，则存在公共的矩阵 ，使得

同时为对角阵.

二、几何意义

将矩阵 视为 上的线性变换，那么它的所有性质皆可体现在对单位球的作用：将单位球映射为椭球（退化情况则映为低维度的椭球），椭球的奇异点 恰是矩阵 的特征方向，有向长度恰是特征值的绝对值，而 的作为算子的范数恰是最大特征值的绝对值.

事实上，单位球上的点 经像 的模长平方

显然是有界的二次型，所以必为椭球.

从这个角度讲， 表示单位球 分别经过两次作用顺序不同的变换后，得到的是同一个椭球.

参考

1. ^ 王萼芳《高等代数》第四版，总习题35、37