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为什么 A 为 n 阶满秩方阵时,Ax=0 只有零解? 第1页

  

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如果 是有限维向量空间,那麽对於任何线性算子 均有:

,其中

(这条式把 的basis representation写出来就很容易证明)

是满秩意味着 ,於是根据上式这是等价於 ,亦即 只有零解

事实上,对於有限维向量空间 和线性算子 ,以下句子全部等价:

  1. 可逆
  2. 是单射
  3. 是满射
  4. 只有零解
  5. 存在唯一解
  6. 如果 是基底, 也是基底
  7. 如果 是 中的开集, 也是 中的开集
  8. 的matrix representation中所有行都是linear independent
  9. 的matrix representation中所有列都是linear independent
  10. 经过有限次elementary row operations後转换成identity
  11. 经过有限次elementary column operations後转换成identity
  12. 不是 的eigenvalue
  13. 的dual (定义为 )可逆

以上所说的在无限维向量空间中不适用




  

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