剩余类环的所有理想怎么求？ 第1页
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我们慢慢来数一下他的所有理想
命题1：剩余类环 每一个理想可由一个元生成
证明：首先 中的理想总是有限生成，任给理想 由有限个元生成，给 是生成元，则取 ，有 ，且可以生成 ，所以就可以从生成元中去掉 再添加 ，由此就可以一步步减少生成元，所以最后变成一元生成的理想。
命题2：剩余类环 中的所有理想的类对象是
证明：由命题1， 每一个理想都可表示成 。如果 ，存在整数 使得 ，故 ，且 ，于是 。
命题3：任给 的正整数因子 ，在剩余类环 中有
证明：若不然，则有同余方程 和 都有解，那么必须得到 和 ，即 矛盾。
结论：剩余类环 中的所有理想的数量等于 的所有不同正因子的个数。
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