为什么 n 阶线性微分方程的通解由 n 个线性无关的特解线性组合构成，这与线性方程组有关系吗？ 第1页

“微分方程能不能理解成AX=0的形式“。可以。

比如考虑的 ，那么 , X=u(t). 这当然就是AX=0的齐次线性方程的形式。

当然有人会抗议，A哪里是一个矩阵，u(t)怎么可以看成向量？这说明问的人没有从更高的观点理解线性代数。A是一个线性微分算子，把函数映成函数，因而可以看成无穷维函数空间上的“无穷维矩阵”。另外，仔细翻翻线性空间的8条公理，他从来没有说，向量就是数组，向量空间就是数组空间。实数上的光滑函数全体，构成一个线性空间，而微分算子是其上的线性算子。线性常微分方程的理论，可以从抽象的线性代数的角度去理解——现在明白为什么线代不等于矩阵论，为什么线性空间线性映射这些概念不仅仅是关于矩阵的抽象废话了吧？

当然，无穷维的线性算子，并不能显然看出他的核的维数（也就是解空间的维数）。解空间维数的计算，可以用其他答主提到的Wronskian行列式来论证n个解是线性无关的。还有一种更直接的看法：令 ，那么高阶线性方程可以看成一个一阶线性方程组： 。这个方程组的解空间是n维的就几乎是显然的了——因为跟他的初值一一对应。

比如我举的例子，就可以看成这个方程组：