如何理解「李群、李代数的初衷就是求解微分方程」？ 第1页

有一天在图书馆看书时，无意在书架上翻到了一本讲李群和微分方程的书^[1]，打开翻了翻之后，才了解到这一块几乎被遗忘掉了的数学历史.

Sophus Lie(索菲斯.李)的梦想, 是想像Galois对代数方程的操作那样去操作微分方程，他先从最简单的微分方程 开始，它的解无非就是 的原函数 加上一个常数项 , 但是得益于Lie的伟大观察，他发现那个随意添加的常数项 ，实际上来自于一个连续变换群！这个群就是 ，这里指数的定义为Taylor展开: 群乘法符合指数的乘法，如果我们把一个特解 写成 的形式，我们会发现这个(单参数)连续变换群 总是把解给变成解^[2]，这就相当于离散的变换群 在 次代数方程中扮演的角色一样，那个偏微分算子 也称之为这个连续群的无穷小生成元(infinitesimal generator).

如果我们令 ，把微分方程写成一个三元函数 (这也可以看成是 中的一张曲面), 这个时候，三个变量之间的关系为:

现在对任意一个微分方程，以一阶常微分方程 为例，现在仍改写成曲面方程 的形式，李依然希望可以找到一组坐标变换 作为自变量， 作为因变量，以及 ，使得这个微分方程在这些新变量的记号下变为可以直接积分的简单形式: ，而这个找法就是利用无穷小生成元.

现在，我们渴望找到这个微分方程的一个无穷小生成元 (这也是最困难的地方)，使得它可以生成一个把解仍然变到解的一个单参数连续变换群，即 ，为此, 我们假定这个曲面方程在 平面中保持在如下坐标变换下不变：

(比如说，在之前最简单的情况下， ), 于是由泰勒展开：

其中 是无穷小生成元，它应当满足 ，这被称之为"决定方程"，它是用来确定系数 的，具体的确定方法是利用线性代数的方法，但是最近有利用代数拓扑的观点来给出这样的无穷小生成元，这里就不展开叙述了.

注：这里的 事实上和 有关，因为 :

因此可以看出 , 这被称之为第一延展公式(the first prolongation formula).

现在开始构造新的变量 使得我们的方程可以转化为直接积分的方式，也就是说，我们希望可以再次得到像 式那样的关系：

这等价于去解一族一阶的偏微分方程：

而决定出这些新的变量之后，我们就可以直接积分了：

我知道的故事到这里就结束了，但是这个理论的故事远没有结束，这套方法直到1950年之后，由Birkhoff等人再次将其发展，这将李群在微分方程中的应用带入了新的时代，关于更详细的资料，可以参考乌普萨拉大学的一份quick note^[3]，更细致的参考书包括一本GTM^[4],关于李最原始的观点，可以翻阅李本人的著作^[5]——那是问世于这个世界的第一本李群教材.

最后，向19世纪杰出的挪威数学家，奥斯陆大学的骄傲——Sophus Lie^[6]致敬.

参考

1. ^ 是一本中文书，科学出版社的，具体名字和作者没太留意.
2. ^ 这也是为什么李群一开始也称之为连续变换群.
3. ^Lie Groups and PDE http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:1471770/FULLTEXT01.pdf
4. ^ Peter.J.Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations, GTM 107
5. ^ Sophus Lie, Theory of Transformation Groups I,II &III
6. ^ https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lie/