如何证明以下微分方程组的解是周期解？ 第1页

Lotka-Volterra系统（简称LV系统）是一类重要又相对简单的微分方程。在具有竞争、捕食、合作关系的生态模型中往往有应用，近些年关于高维LV系统的极限环、随机扰动等的研究也风生水起。

题主问的这种是二维捕食LV系统。下面先介绍一下它的生物背景，再说怎么证明它有周期解。

假设有两个物种，一个是捕食者（以下称为狼），其数量是 另一个是被捕食者（以下称为羊），其数量是 羊有一个稳定的出生率 而单位时间内羊的死亡数应该和 都成正比——因为两倍的狼会吃掉两倍的羊，两倍的羊也会使狼有两倍机会遇到羊。设单位时间内羊的死亡数为 所以羊的增长率为 于是得到羊的数量满足的微分方程：

再考虑狼。狼捕食羊，首先要有机会遇到羊，因此如果要维持狼的生存，羊的数量必须有一个最小值 当羊的数量 大于 时，狼的增长率为正；当羊的数量 小于 时，狼的增长率为负。满足这种条件的增长率的最简单形式为 于是得到狼的数量满足的微分方程：

联立这两个方程，得到二维捕食LV系统：

题主的系统是上述 的特殊形式，所以下面仍然讲述这个系统。因为物种的数量都是非负的，所以只考虑系统 在第一象限的性态。

显然坐标轴是系统 的不变集。系统 有奇点 和 用线性化方法得知 是鞍点，而 有虚特征值。为了判断奇点 的类型，将系统 的两式相除，得到

分离变量，求出一个首次积分：

易见 以点 为极小值点，所以在 附近 的等高线是闭曲线。换言之， 是系统 的中心，环绕 的轨线都是闭轨，它们是周期解。因为第一象限中没有其它奇点，所以这些闭轨充满了第一象限。

从相图可见，如果一开始只有狼没有羊，那么结果是狼灭绝；如果一开始只有羊没有狼，那么羊将会无限增长；如果既有狼也有羊，那么两个物种此消彼长，数量随着时间而周期变化。

稍微多说一点。如果研究一下二维竞争LV系统，就会发现，这种系统（比如牛和羊抢着吃草）多数情况下会让一个物种趋于灭绝。所以，看似文明的竞争系统往往隐藏着更大的凶残性。

再者，对于一般的二维LV系统

利用微分方程的Dulac准则，可以证明如下定理：

记 则二维LV系统有中心的充要条件是：
（1） 或者
（2）
此时 是中心。

进一步，结合坐标轴的不变性可知，二维LV系统如果有闭轨，那么闭轨包围的区域中除了一个奇点之外，其它都是闭轨，且这个奇点是中心。二维LV系统没有孤立闭轨，即极限环。

用这个高级结论也可以解决题主的问题。

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方程为：

一般来说，方程是关于自变量的。对于此方程也不求精确解，而求其相图。消去有：

方程易解，为：

此为方程的相函数（后也称为“方程”，因为后面即对此视为方程来分析）。先单独分析二者。记，方程化为：

在此只分析；同理。

对于，求导易知其在处有一最大值，记：

且：

因此函数图像应该可以在脑子里勾勒出来了（所以就不画了/逃）。同理，有。

初值条件确定的取值：

在时方程无解。

在时仅有唯一解，则不考虑周期性。

在时，先分析关于取何值时，方程仅为唯一解的情况。令。

考虑函数，由于，因此方程

总有两个解，记为且。考虑在以及的区域。若，则：

于是

此时关于的方程无解，同理可得的情形。因此可以判定，在时方程无解。时为常数解。

因此我们不需要的情况，在时，记此时有，于是，则：

因此对于总有两个解。

综上：

在时不能找到一个是方程的解。

在时，只有是方程的解。

在时，方程关于总有两个解。

这是在的基础上分析的取值，反之，在的基础上分析的取值同样如此。

很显然解是光滑的，因此相函数是闭的（为什么？）。

相函数是闭的那就是周期解了。