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如何用根号表示Sin1°? 第1页

rt237 网友的相关建议:

既然题主希望看到的是“数学之美”，我们就直接“美”给题主看。

注意：本篇回答中，根号取值的方法依据 Mathematica ，是这样的：

其中

例如，也就是，每个根号都取实部最大的值，实部相同的取虚部大于零的值。

我之前搞错了，现已改正。

答案

旋转版：

得到答案的方法

根据三倍角公式：，正确使用 Cardano 公式解得：当是锐角时，

当是锐角时，

我们知道。而，所以反复使用上述两个公式即可得出。

最后，综合使用 Mathematica 的化简功能和眼睛、草稿纸来尽可能地化简我们所得到的东西，就得到了上述结果。

这堆东西确实正确的证据：

猫猫

的一种计算方法：

画出如图的三角形，令图中全部都是等腰三角形，所以

因为和相似，所以推出

正弦定理：所以。

那一大堆东西的代码：

       sin 1^circ = frac12sqrt{2-sqrt{2+frac{4+sqrt[3]{8+8sqrt{5}-4sqrt{30+6sqrt{5}}+4sqrt{150+30sqrt5}+left(-2sqrt2+2sqrt{10}+4sqrt{15+3sqrt5}
ight)sqrt{-14+2sqrt5-sqrt{30+6sqrt{5}}+sqrt{150+30sqrt5}}}}{2sqrt[3]{-1+sqrt5+sqrt{30+6sqrt5}+sqrt{-28+4sqrt5-2sqrt{30+6sqrt{5}}+2sqrt{150+30sqrt5}}}}}}

耍赖的答案（感谢精选评论指出错误）

网友的相关建议:

有很多的相似问题, 请提问前尽量使用搜索引擎. =_=

理论上, 比如, 对于真分母可化为形式的有理数角度(其中均为自然数), 其函数值总通过有限次数求解多项式方程给出形式解. 但是这并不保证最终结果全部为实根式. 全部根号内部均为正的表达式, 仅仅在的整数倍的情况下才能保证.

给一个思路. 用二倍角得到

联立正弦二倍角和余角的余弦三倍角得到

从而

用三倍角讨论得

代进去化得对称一点(请善用 Mathematica),

不过请注意, 此处的虚数是形式记号, 终结果仍然为实数.

给个读者自证的提示: 设角度制下的有理数均为整数. 利用倍角公式得

至于为什么也可以, 那是因为五倍角公式没四次项. 而的情况就不一定能通过有限次运算解出方程了. 我不想继续推广结论了, 读者感兴趣自己来吧. =_=