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交换环的所有零因子和 0 组成的集合是一个理想吗? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

反例:

令交换环 ,设平凡与非平凡零因子所构成的集合为

然而


推而广之, 时( 为质数),皆为反例. 沿用上面记号

以剩余系为代表元按由小到大排列,而

而在 中介于 到 的元素只有 的某些倍数,但是很显然 ,所以最后只有


事实上,上面证明条件还可以更宽松一点,只需要 即可,如此一来由裴蜀等式:

而 ,否则存在与相伴的 任意零因子 ,即

而这与零因子非零矛盾.

如此一来,只有 的零因子才可以满足题目,实际上此时有

显然后者是一主理想.




  

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