问一下，这几个群是什么群，有什么性质？ 第1页

定义

有一串珠子，这些珠子颜色各异，所以我们把它们视为不同的珠子：

但是数学家为了简便，干脆就将这些珠子标号 （数字间的逗号省略）

就是一些将这串珠子打乱顺序的指令集合，数学上成为对称群.

例子

下面我以 为例子.

三颗珠子分别标号为 ，你能想到的一切打乱顺序的方式都在中，比如，我想将：

变换的结果是

上面的操作还可以记为 ，进一步，我们干脆写成 ，所以这个“指令”就属于，即 .

而对于一般的 ，其中的元素都是 这样的序列，以及这些序列指令的叠加（变换的乘法）构成.

比如 ，这条指令意思是将前三个珠子 轮换一下，然后后两颗珠子对换一下位置 . 我们发现这条指令可以拆解为两个不相关的指令

也就是可以拆成两个独立的圈，而且你会发现，这两个圈位置互换，这条指令没有发生根本性变化，这也就是说：

但是对于不满足这样关系的两个指令，是无法交换的，这个读者自己验证.

定理

这个定理很基本，当然也极为重要：任何有限群，都可以看为指令集合（或者按照术语讲“对称群”） 的一个子群.

这个定理很厉害，体现出代数包罗万象的特点. 也为任何有限群的表示给出理论上的保证，只要你愿意，可以把任何有限群都写成轮换的乘积所构成的集合.

应用

叫对称群是有几何方面的渊源. 为了刻画各种具有对称性质的几何体（正多面体、晶胞等），我们可以用他们的“对称群”来刻画、分类. 在化学上，我们知道分子是由原子构成，对称性质比较好的分子，物理性质方面就不太依赖方向的选择；反之，对称性很差的分子，其物理性质就会表现出明显的各向异性.

屑语

最早接触群论的时候，常常看到科普文章说群和“对称”的关系. 但是我那时理解的“对称”很有限，这是因为首受限于三维空间，有些不可思议的对称变换在我们的世界目前是看不到的（我没说没有）. 但是 定理说，没关系，你看不见不影响你去理解它，它就是把XX和XX换了一下……总之都可以理解为一根绳上的珠子（一维）.

伟大的爱尔兰根纲领，提出者、大数学家克莱因指出，几何研究的就是在某个对称群保持不变的性质. 这个思想极为深刻，在哲学中，所谓“本质论”、“本体论”，就是尝试去寻找事物最纯粹最本根的对象，是事物之所以为其自身的根本原因. 狭义相对论抹平了惯性系的差别，广义相对论抹平了非惯性系的差别，无论你在哪个参考系下，根本的物理性质是不变的. 可以说，克莱因的思想贯彻了物理学后面的走向.

一个杯子，你放在地球任何一个正常的地方（别放到岩浆里），杯子的特性依然没有改变，它仍然可以拿来盛水. 那么你把它拿来拿去的动作，就属于它的对称变换——不改变其本性的操作. 但是，你把它摔碎、放入高温高压、强酸强碱里，把它毁了，它就失去了它的功能，这就超出了其对称变换的边界.

人也是如此，只有放到一个正常的环境，人性是不会发生大的变化的. 只有放到极端环境，人性就不再是人性. 《三体》里让我最震撼的句子是：上了岸的鱼不再是鱼.

事实上一切学问都在探讨保持其自身不变的边界.