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0.23571113•••(小数点后面由全体素数组成)是有理数还是无理数 怎么证明? 第1页

  

user avatar   hhh-80-34 网友的相关建议: 
      

无理数。

我们先证明调和级数中由缺少n个1的自然数级数是收敛的。

首先对于所有n位数的和,倒数和都小于1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9<3

所以所有1位数到n位数,倒数和小于3n。

而我们只要计算每n位数看,缺少n个1的调和级数是收敛的。(其实这只是一部分)。

首先10^n中,缺少n个1有10^n-1种选择。

那么10^2n中,缺少n个1有(10^n-1)^2种选择。…

然后每n位数为一区间。

1+1/2+1/3+…+1/10^n<3n

同样的,得1/10^n到1/2*10^n和小于(10^n-1)/10^n,同理1/2*10^n加到1/3*10^n小于(10^n-1)/2*10^n。

所以1/10^n加到1/10^2n和小于3n*(10^n-1)/10^n,再看1/10^2n到1/2*10^2n,和小于(10^n-1)^2/2*10^2n。故而1/10^2n加到1/10^3n和小于3n*(10^n-1)^2/10^2n。

同理推得1/10^3n到1/10^4n中缺少n个1的级数之和小于3n*(10^n-1)^3/10^3n…

所以缺少n个1的调和级数和小于

3n((10^n-1)/10^n+(10^n-1)^2/10^2n+(10^n-1)^3/10^3n+…)=3n*10^n。是收敛的。

而质数倒数和是发散的,故而质数可以连续任意多个1。假设0.23571113…里面存在循环节,循环节为n位,那么由于质数可以连续任意多个1,所以循环节不存在,故而矛盾,所以0.23571113…是无理数。


user avatar   triangjyeddriung 网友的相关建议: 
      

无理数。

有个更简单的办法:设循环节长度为n,则存在m,对任意k大于m, k位的素数都包含在循环部分中。

(设第u位开始为循环节,取m为从第u位之后第一个写下的素数的位数)

取k=2rn>m(r为一充分大的正整数),则某个k位的素数(存在性: 中必有素数,这是伯特兰-切比雪夫定理,感谢可爱的 @FrauEuler 大佬指正)形如

,其中循环节出现2r次。

不是素数,矛盾!


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这个数是Copeland-Erdős常数:

这个数是无理数:

The constant is irrational; this can be proven with Dirichlet's theorem on arithmetic progressions or Bertrand's postulate (Hardy and Wright, p. 113) or Ramare's theorem that every even integer is a sum of at most six primes. It also follows directly from its normality (see below).

进一步地,Copeland和Erdős证明了这个数在10进制下是正规数:

In base 10, the constant is a normal number, a fact proven by Arthur Herbert Copeland and Paul Erdős in 1946 (hence the name of the constant).


其实我知道这个完全是因为20年Robert Wilson拿诺贝尔奖的时候我写的这个(无聊的)专栏文章:

Wilson的博士生导师的博士生导师就是这个Copeland。




  

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