0.23571113•••（小数点后面由全体素数组成）是有理数还是无理数 怎么证明？ 第1页

无理数。

我们先证明调和级数中由缺少n个1的自然数级数是收敛的。

首先对于所有n位数的和，倒数和都小于1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9<3

所以所有1位数到n位数，倒数和小于3n。

而我们只要计算每n位数看，缺少n个1的调和级数是收敛的。(其实这只是一部分)。

首先10^n中，缺少n个1有10^n-1种选择。

那么10^2n中，缺少n个1有(10^n-1)^2种选择。…

然后每n位数为一区间。

1+1/2+1/3+…+1/10^n<3n

同样的，得1/10^n到1/2*10^n和小于(10^n-1)/10^n，同理1/2*10^n加到1/3*10^n小于(10^n-1)/2*10^n。

所以1/10^n加到1/10^2n和小于3n*(10^n-1)/10^n，再看1/10^2n到1/2*10^2n，和小于(10^n-1)^2/2*10^2n。故而1/10^2n加到1/10^3n和小于3n*(10^n-1)^2/10^2n。

同理推得1/10^3n到1/10^4n中缺少n个1的级数之和小于3n*(10^n-1)^3/10^3n…

所以缺少n个1的调和级数和小于

3n((10^n-1)/10^n+(10^n-1)^2/10^2n+(10^n-1)^3/10^3n+…)=3n*10^n。是收敛的。

而质数倒数和是发散的，故而质数可以连续任意多个1。假设0.23571113…里面存在循环节，循环节为n位，那么由于质数可以连续任意多个1，所以循环节不存在，故而矛盾，所以0.23571113…是无理数。

无理数。

有个更简单的办法：设循环节长度为n，则存在m，对任意k大于m， k位的素数都包含在循环部分中。

（设第u位开始为循环节，取m为从第u位之后第一个写下的素数的位数）

取k=2rn>m（r为一充分大的正整数），则某个k位的素数（存在性： 中必有素数，这是伯特兰-切比雪夫定理，感谢可爱的 @FrauEuler 大佬指正）形如

，其中循环节出现2r次。

而

不是素数，矛盾！