有哪些用普通人的知识水平就可以巧妙证明的数学难题？ 第1页

中学课本里出现过的拓扑学的欧拉定理：任给一个不被孔贯穿（严格地说是同胚于球）的多面体，其顶点数V、棱数E、面数F满足等式 。

这个规律最早由笛卡尔发现，但最早的证明是欧拉完成的。

可能说不上是什么难题，不过下面这个证明过程确实非常巧妙，我最早读到这个证明是在一本书的附注里，记不得是教材还是科普书了，当时年纪很小，没细看，因为感觉叙述得很冗长。后来在George Gamow的科普神作《从一到无穷大》里仔细读过，叹为观止。

证明：假想一下满足上述条件的多面体 是中空的，并且其顶点可以随意移动，对应的棱长也可以随意伸长或收缩。第一步割掉（或者说是挖掉）P的一个面得到新的图形 。记 ，显然无论顶点怎么移动，棱如何收缩，只要不使不同的顶点或棱发生重合， 的值都是不变的。并且 。然后想象在不使顶点或棱发生重合的前提下移动 的顶点到同一个平面上，得到一个平面图形 。观察一下 ，它是由一些多边形拼接成的：如果把其中不被线段“切开”的多边形数作为 的面数，即 ；线段数作为棱数 ；线段交点数作为顶点数 。那么一定有 。

接下来，如果 中有不是三角形的区域，那就添加对角线连接这个区域的一些顶点，把这个区域“切割”成三角形拼成的，同时要注意新添加的对角线不要和其他线段相交，最终得到一个三角形构成的网络 ，如下图。由于新添对角线之间互不相交，那么每添加1条对角线，就会同时多一条棱和一个面，如果从 到 一共添加了k条对角线，那么 。

然后我们从边缘开始对 进行如下操作：

如果有一个顶点仅属于一个三角形，一定有两条边仅属于这个三角形，那就把这个顶点和这两条边直接擦除，得到新图形 ，一定有 。

如果一条线段（或者说一条边）仅属于一个三角形，那么把这条线段直接擦除，于是得到棱数和面数分别减少1的 ，有 。

重复进行上述操作，最终剩下的图形一定是一个三角形，并且有 。而显然 ，故 。

根据这个定理可以得到一个重要的推论：正多面体有且只有正四面体、立方体、正八面体、正（五角）十二面体、正（三角）二十面体五种。不妨尝试证明一下看看。