如何计算投掷多个骰子得到某个给定总点数的概率？ 第1页

这是一个很有趣的古典概型问题。

由于我们想要得到一个一般解，所以可以把题目中的条件再放宽：每个骰子均匀地有个面，即得到相应点数的概率为。当然，得到每种点数的概率要相等，否则不满足古典概型中基本事件等可能发生的条件。

所以，我们可以将问题描述为，投出个均匀的面骰子，总共得到点数为的概率是多少？

解决问题以前，先进行一些简单铺垫：
个元素当中取个元素的全部可能记作组合数，当然也经常记作；
许多复杂的古典概型问题本质上是组合问题，所以不要太纠结于概率，要适时地站在代数的角度考虑问题。
铺垫结束。求解开始。

投出个骰子能够得到的总事件数为，目标点数为可以记作方程，其中是大于小于的整数。

下面考虑多项式，将它与其自身相乘，化简后一定会包含，其中可以独立地假定为到之间的任意整数。所以对于化简后的多项式，选定指数，则项的系数将给出方程的解的数量。

类似地，因为多项式乘法本质就是同类项之间的组合，所以总点数的获取方式，可以根据多项式中项的系数得出。

我们对多项式进行化简，

根据牛顿二项式定理，


为获得项的系数，考虑，进行合并有

所以我们得到对应全部可能的组合数为

其中，表示高斯取整函数。

记问题的目标概率为 ，我们得到一般解：

求解结束。^[1]

在得到这个一般性的结论以后，我们不妨来进行一些检验计算。比如，投出12个正常的6面骰子，得到总点数为42的概率是多少？

代入公式，不难得到

所以，投出12个骰子得到总点数42的概率约为0.067。

对了，42不是一个随便选出来的数，当然也和《银河系漫游指南》没关系。选42是因为它是12个骰子总点数的期望，这个时候对应最高的概率，也就是最多种可能的组合。

换言之，选42只是为了用来调戏那些热衷于穷举的闲人。

参考

1. ^ Introduction to mathematical probability by J. V. Uspensky. New York: McGraw-Hill, 1937.