我是搬运工[1]。
首先明白一个概念——
简单说,共轭元就是 维无边子流形 ,它不可缩,不是高维空间的边界。并且它可以分解为可数个 维闭圆盘的并,这些圆盘的交集等于它们边界的交集。
比如轮胎面的纬圆,可以被首尾相接的一维闭圆盘——闭线段分解。它就是一个 维结构元。我们更关注与它同调的等价类 .
如果 存在逐点与之横截相交(不是相切那种相交)的结构元同调类 ,则 称为 维共轭元.
就比如轮胎面的纬圆和经圆,就是互为对偶共轭元.
而共轭元分为自由与非自由,有以下关键定理——
定理 是正则流形,同调群
是自由子群, 为挠子群,它们的生成元基分别是自由共轭元与非自由共轭元.
关于自由非自由共轭元的定义为了叙述方便我就省去了。
然后回到我们的目标——
,则有正合列
其中
几何解释: 维共轭元 只有如下情况:
表示 与 在边界粘接. 与是对应以上情况分别有:
于是由 的定义,显然有 ;
于是 , 也容易验证.