用分离变量法来解 PDE 的合理性何在？ 第1页

谢邀：我就两个层面来回答这个问题，第一个是技术层面，第二个是本质层面，从算子层面来回答这个问题。从这个层面来看，分离变量只是算子性质的自然结果，也就是说如果微分算子是某种正规算子，那么变量分离是一定有效的。

1。不管是热方程还是波方程都可以写成下面的情况, 就算是时间上的二阶也可以通过引入一个“矩阵”算子写成一阶的方程：

最简单的两种情况如下：

“分离变量法”包含了几个重要的知识，首先线性方程的解的线性组合还是解。 第二个是，初始值所在空间 有某个“完备的正交基”，也就是能找到 使得它们把可以把初始值写成

如果对于任意初值 ，原方程存在解可以写成

也就是“可分离”，那么一般的解就是

第二个层次： 一个如上方程一般可以对应一个算子半群。具体来说

最后的问题来了，什么时候算子 有一组完备的不变正交基呢？ 线性代数告诉我们，一个normal的算子，也就是正规矩阵是这样（当且仅当）。在无限维空间也是这个情况，可以定义正规（无界）算子，这类算子总是可以找到如上的正交基分解。 所以，分离变量法的根源之一在于算子 是某个空间中的正规算子。特别的，热方程中这个算子叫对称算子 ，波方程中这个算子是反对称算子 。 这两类算子都是正规算子。

根据@Tray 的要求，我列出了“算子半群”理论的一些参考书：

A. Pazy Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial differential Equations.