无限循环小数的循环节长度是否可以取任意正整数值？如果可以，不同循环节长度的无限循环小数是否均匀分布？ 第1页

命题1 总存在循环节任意长的循环小数.

证：定义一个周期整数数列，对任意 满足：

• ， 是最小正周期；

于是可以定义一个 进制 循环小数（循环节长度为 的循环小数）. 下面我们构造循环节.

是满足以下条件的序列：

如此一来，这个序列内部不可能出现循环，因为 0 只出现了一次，于是

就是 进制 循环小数.

例 构造一个 2 进制的 5循环小数

定义 从小数点后就进入循环的小数，我称之为纯循环小数. 上例中就是纯的，而比如

就是不纯的.

题主第二个问题没有说明事件全空间，我自拟了一个问题，也算是符合题目……吧——

命题2 进制循环节长度不超过 的纯循环小数中，循环小数出现的概率如何？

PS：请原谅这里的命题我使用了疑问的句式，因为在得到结论前我也不知道概率究竟如何.

证：由题意，全空间记为

其中 表示纯 循环小数全体，显然这是一个等价划分.

下面需要对 进行计数. 设 ，即

是不可以任意选取的，因为要避免该序列内部出现更短的循环. 例如

它就是一个伪 4循环，实则是 2循环. 注意到，

引理1 为素数，则 .

证：若

中出现比 更小的循环节，则只能是 1循环. 否则，存在与 相等的纯 循环 ，

不全都相等，不妨设 .

设

，其中

则

我们观察 中 与 之间的 与两者的距离（序号之差）：

• 若 ， ，这与 是 循环矛盾；
• 若 ， ，同上，矛盾.

于是，从所有可能的情况数 中，减去掉 个 1循环，即证所求.

研究完素数的情况，就可以推广到合数的情况.

引理2 为正整数，则

.

证：显然.

于是全空间的元素个数为：

引理3 全空间元素个数的上界为

证：由定义

最后使用等比数列、等差数列求和公式即可得到题干中粗糙的上界.

不忘初心，我们回到命题 2 的证明.

为了形象展示上面的概率分布，我列举几种二进制纯循小数.

此处我仅列举 的纯小数.

根据引理 1 ，

时，我需要列举 项，

根据引理 2，

时，我需要列举 项……