如何理解傅里叶变换公式？ 第1页

喜欢科普的我思考良久，准备挑战一下这个高难度的问题。难并不是因为有多么难学，而是非常的抽象，无法直观理解，也是很多在校大学生的梦魇。

借用我在《线性代数有什么用？学习线性代数的意义在哪？》里写过的一句话：将一门知识讲复杂了很容易，但是讲容易了的确是非常难的，这需要极高的学识和深刻的理解。相信放在“傅里叶变换”中也是再合适不过的了。下面进入正文。

傅里叶变换的核心是从时域到频域的变换，而这种变换是通过一组特殊的正交基来实现的。

这里面涉及到很多专业术语，首先来解释为什么一定要进行时域到频域的变换呢？时域里有哪些我们解决不了的问题吗？

时域

时域是描述一个数学函数或物理信号对时间的关系，这也是我们日常中最容易直观感受的一种域。从我们学物理开始，很多物理量的定义都是跟时间相关的。

• 速度：位移与发生这个位移所用的时间之比
• 电流：单位时间里通过导体任一横截面的电量
• 功率：物体在单位时间内所做的功的多少

...

很多物理量的定义都是基于单位时间产生的效果或者变化，以时间为参考让我们更容易理解。但是容易理解不代表方便使用，或者说方便计算。

比如我截了一段音频的波形图（来自李荣浩《麻雀》的副歌部分——“我飞翔在乌云之中，你看着我无动于衷...”），如下图。

其中横轴是时间t，纵轴是振幅A [-1, 1]。

假设播放器读入这段音频进行音频播放。现在我想让音量大一些，播放器应该怎么做呢？

因为上面的波形图的振幅对应的其实就是声音的强度，如果想让音量大一些，只需要将整体的振幅同比例扩大即可。这个需求看起来很容易满足。

但如果我比较喜欢低音效果，虽然李荣浩的音色已经比较低了，但是我还是想加强上面这段音乐的低音部分，更加厚重一些，那播放器应该怎么做呢？

虽然这是一段美妙的音乐，但是从时域的图像看起来，似乎杂乱无章，想找到低音部分根本无从下手，跟不用说将低音部分加强了。因为高中低音在时域中是杂糅在一起的，我们无法将他们剥离开来，随便改动波形图中的一小部分，都会同时影响到高中低音。所以如果播放器仅仅对时域信号进行处理是无法完成这个需求的。

和时域的这种限制类似的还有RGB空间。任何一个颜色都可以通过R/G/B(红/绿/蓝)三原色表示出来。如下图。

通过调整三种颜色的配比，就能混合出各种颜色。为什么我们经常通过RGB空间来表示所有的颜色呢？因为人类有三种视锥细胞，而这三种视锥细胞最敏感的波长接近于红/绿/蓝（如下图）。所以任何颜色对于大脑来说，都是这三种视锥细胞电信号的混合作用。这也是我们使用RGB空间的生物学基础。

虽然RGB空间和我们的视锥细胞原理类似，而且模型非常简单。但是在某些条件下，它仍然无法满足我们的需求。比如，我们在拍照时有时会出现红眼现象（如下图的美女）。

我们需要PS掉红眼，但是我们如何在RGB空间中找到红色的范围呢？有人可能会说，R值越大的地方代表越红，是这样的吗？我们看(R,G,B)=(170, 0, 0)时，颜色如下，

上图的颜色我们可以认为是红色的范围。但当RGB=(187, 187, 187)的时候，颜色如下图所示，

虽然R的值增大了，但是G/B值的大小也会影响混合的颜色，导致变成了灰色。所以RGB三个值，牵一发而动全身，如果想在RGB空间找到红色范围是非常困难的，这就需要将色彩从RGB空间转换到HSV空间（如下图，这里不做详述），在HSV空间红色的范围可以很容易的表示出来。

RGB空间就和时域一样，都有着自身的限制。所以最容易理解的表现形式并不一定是最方便计算的。我们往往需要进行一种变换，将在原来空间中难以处理的问题变换到方便计算的空间中去。

频域

频域就是描述频率所用到的空间或者说坐标系。频率虽然比较抽象，但是在我们的生活中是无处不在的，只是我们很少直接提到这个专业名词。

对于波来说，频率是每秒波形重复的数量。声音是一种波；光具有波粒二象性，也具有电磁波的性质；更普遍的说，频率是物质每秒钟完成周期性变化的次数。比如家里用的交流电是50Hz，意思就是电压每秒完成50次振荡周期，如下图。

而前面提到的低音效果是什么样的效果呢？就好比家庭影院中的低音炮，它是如何实现重低音的呢？简单来说，可以将它简化成一个低通滤波器，下图是低通滤波器的频率响应曲线。

横轴是频率(Hz)，纵轴是声音大小(dB)。（请忽略图中的频率刻度，没有对应人声的频率范围）

所谓的低音效果，其实就是对人声中的低音部分保留或增强，对应上图中左侧的横线部分；而对于人声中的高音部分进行衰减，对应上图中右侧的斜坡部分。通过这个低通滤波器，我们就能将低音过滤，将高音衰减。为了实现更好的视听效果，实际中，功放或播放器的实现会比这个复杂得多，上图中进行了极简化。

可见，低音效果是在频率范围内考虑问题，而波形图是在时域内的图像，所以如果想在时域内解决低音效果的问题，就如同鸡同鸭讲。所以我们要就要找到一个沟通时域和频域的桥梁，也就是一个翻译，让时域和频域能够无障碍的沟通。但是，时域和频域表达的又只能是同一种信息，只是表现形式不同。

就好比人们想了解古埃及文化，但完全不了解古埃及象形文的含义，所以也就无法根据记载的文字了解当时的文化。直到商博良破译了罗塞塔石碑上的古埃及象形文，才打开了古埃及文化的大门。所谓破译，其实就是找到古埃及象形文是如何表意的，然后翻译成现有文字系统，比如希腊文。它们本质上表达的是同一种信息，只是表现形式不同。

时域转频域

极坐标与直角坐标系类比

前面类比了RGB空间，解释了为什么要进行时域到频域的转换。可能还不够形象，这里再用直角坐标系和极坐标系做一个类比。

我们来看一下阿基米德螺线(如下图)，当一点P沿动射线OP以等速率向外运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为: 。这种螺线的每条臂的间距永远相等于 。

这种曲线在极坐标系中很容易的表示出来，而且形式非常简单优雅。但是在直角坐标系下要以X-Y的形式表示出来确是非常困难的，只能用参数化方程来表示。也就是说，有些问题，当我们换一个空间或者说域去考虑的时候，可能会豁然开朗。

傅里叶级数

为了形象的理解为什么要进行时域到频域的转换，前面已经举了很多的例子，下面正式开始进入时域和频域的变换。我们先来看一下标准正弦函数，如下图。

在时域它的函数方程是 ，而它的频率是 。所以，上面这个函数在频域中的图像如下

横轴是频率f，纵轴是幅值A。上面两张图分别从时域和频域展示了正弦函数，但表达的都是同样的信息。

更一般的有 , 其中 是正弦函数的频率， 是初始相位， 是幅度。在广义的频率中， 可正可负，上图中旋转臂顺时针旋转， 为负值。如果旋转臂转的越快，则频率越高；零时刻旋转臂和水平方向的夹角，就是初始相位。

由于正弦函数是单一频率，在频域中只需要一根竖线就能表现出来。我们期望的也是将时域的信号转换成一个个单一频率的正弦函数的组合，这样我们就能够在频域中用一根根竖线表示出来，也就完成了从时域到频域的转换。而上面提到的正弦函数表达式可以转换成如下形式，

所以，如果可以将任意波形都转化成若干个正弦函数和余弦函数的线性组合，我们是不是就完成了时域到频域的转换？

别急... 实际的波形可能会有一个”直流分量“，如下图。这个方形波并没有沿X轴往复运动，而是沿 这条直线往复运动。对于这类的波形，单纯的用正余弦函数组合是无法表示出来的，因为正余弦都是沿X轴往复运动，所以必须叠加一个”直流分量“。

所以最后，如果任意波形都可以转化成常数、若干个正余弦函数的线性组合，我们就可以完成时域到频域的转换。用数学公式表达如下面所示：

上式中的 就对应了直流分量，我们可以把它想象成一个常数而已。于是问题就转化成，对于任意波形，我们能不能找到一组系数 和 ，使上述等式成立？（为什么上式采用了离散的频率，而且都是 的整数倍呢？后面会介绍）。

到这里，法国数学家傅里叶就必须登场了。他在1807年发表的论文中帮我们完成了这个工作，他提出了一个当时非常具有争议性的论断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

其实，对于连续周期信号，比如上图中的周期方波，严格意义上说它的频域变换叫做傅里叶级数，因为经过频域变换后，它的频谱是离散的。而当我们现在说起傅里叶变换，默认指的是连续非周期信号的变换，如下图所示。因为非周期信号可以想象成信号的周期趋近于无穷大，所以傅里叶变换其实是对傅里叶级数的扩展。

正交性

我们接下来介绍的都是基于连续周期函数的频域变换，也就是傅里叶级数。重新复制一下前面要证明的等式。

在我们尝试求解系数 和 之前，我们先解释一下前面留下的问题。上式为什么采用了离散的频率，而且都是 的整数倍呢？

这样的一组正余弦函数除了可以表示单一频率之外，方便的在频域表示，而且组成一组正交基，具有两两正交的优质特性，可以方便的计算系数。

我们知道，正交是线性代数里的概念，是垂直这一直观概念的推广。比如，在欧几里得空间中，正交就是两个向量的内积为零。如下式。

下图中，X、Y、Z三个轴就是两两正交的。因为X、Y、Z三个轴对应的向量分别是(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)，根据上面的内积公式可得他们两两内积为零。

那对于两个连续函数来说，应该如何表示正交呢？

函数在某个区间内部有无穷多个点，无法直接套用内积公式。但我们可以借鉴积分的思想，将函数在一段连续区间分割成一份一份，这样每一份的取值合起来就可以组成一个向量，于是可以用向量的内积来表示两个函数是否正交。如下图

当分割的区间无限小时，向量变成无限维，于是向量的内积就可以用积分来替代了。所以两个函数的正交其实可以用积分来表示。

对于 和 ，在一个周期内，处于X轴上方的面积和X轴下方的面积相等，所以这两个函数的积分为0，也就是互相正交的。还有另外一种情况

积分的两个函数相同，都是 ，这时积分结果都在X轴上方，积分大于0，也就是不相互正交。

更一般的情况，有

所以， 不仅能够表示单一频率，而且还构成了一组正交基。于是我们重新看上面要证明的等式，如下所示

上面这个等式和前面提到的正交基不同的仅仅是频率 ，当积分区间修改成对应的周期范围内，则所有的特性完全一样。

也就是说如果上面这个等式能成立，将是一个非常完美的等式。我们不仅完美的将它转换成了频域，用单一频率的正余弦函数组合表示出来，而且他们还是一组正交基，从线性代数的角度来看就是线性无关的，彼此互不影响，就和欧几里得空间中的X-Y-Z轴一样，无论我如何修改X的值，对Y和Z都是没有任何影响的。

这种正交的特性可以让我们非常方便的求出对应的系数。比如我想求出 ，它的系数就是 ，前面已经提到， 是正交基中的其中一个基底，它只与自身积分不等于零，而与正交基中任意其它基底积分都为0。

有了这个非常好的特性以后，我们要求 ，只需在两边同时乘以 ，然后做积分，其它所有的频率部分因为正交性，都变为零，等号右侧只保留了 的部分，我们就可以求出 。

更一般地，对于 和 ，有如下等式成立

到这里，我们利用正交性求出了傅里叶级数中的 和 ，求解过程并没有那么严谨，只是能够直观的理解如何进行的时域到频域的转换，以及如何利用正交的特性去求解系数。

过冲现象

虽然求解出来了，但是真的如傅里叶所说，我们可以用正弦波去表示任意的连续周期函数吗？以方波为例，我们看一下下面的动图。

如上图，随着频率越来越丰富，合成的波形也越来越接近方波了，当n趋近于无穷大，也就是频谱范围无限大的时候，就可以无限逼近方波了。

但是，我们注意到，即便在n = 29的时候，合成的方波还是棱角处还是有一定的过冲。而且我们发现，在n增大到29的过程中，这个过冲并没有明显的减小。那么在n趋近于无穷的时候真的能够避免这种过冲吗？

我们知道，正弦函数是一个处处连续且可导的函数，也就是说正弦函数是一个比较圆润的函数；而方波却是有棱角的，在棱角处是不连续的。一个圆润的函数最后可以合成一个带有棱角的函数吗？即使将频谱范围扩展到无穷大，就真的能够逼近出棱角吗？

事实上，当初拉格朗日也是拿这一点反驳傅里叶的。在不连续点的过冲即使频域扩展到无穷，过冲也不会降为零的。其实傅里叶所说的逼近其实是能量的无限逼近，也就是经过傅里叶变换后的波形能量和原始波形能量可以无限逼近。

复频域傅里叶级数

到此，基于三角函数形式的傅里叶变换已经介绍完毕。但傅里叶变换还有一种复频域的表示方式，通过复频域表示更加简单直观，但这就需要用到大名鼎鼎的欧拉公式。

对任意实数x，都存在 ， 是虚数单位

通过复频域表示时，会出现虚数单位，而这个是我们在三角级数表现方式中不曾出现的，而最后复频域表示方式要能够化成和三角级数的相等的表达形式，所以必须想办法消掉虚数单位。所以我们就想到共轭复数 。有了共轭复数，我们可以通过两个互为共轭的复数加法将虚数消掉。于是有下面的式子，我们将频域的 1 ~ N求和 和常数 转化成复频域的 -N ~ +N求和，这样通过构造 -N，就会出现两个互为共轭的复数。

然后我们用待定系数的方式求解 ，另 ， 将互为共轭的两个系数提取出来，对比三角级数和复频域的表示方式，列出等式。

解得 ，于是有如下表达式

所以我们有了复频域的傅里叶级数表示方式。如果想要求出 ，同三角级数一样，在复频域上 同样具有正交性，所以我们想要求出 ，只需要在等式两边同时乘以 ，然后再进行积分，就可以过滤掉其它复频率分量，而只保留 ，于是我们有

结尾

傅里叶就是在它的《热的解析理论》中提出了傅里叶变换的一系列思想，虽然他如此伟大，但是他最后的结局却是“no zuo no die”排行榜第一。

傅里叶对热极为痴迷，同时认为热是世界上的最棒的东西，甚至可以包治百病！他为了证明这个理论，一次他在身体不舒服的时候，在大热天，他把门窗四闭，烤着火炉，“治疗”着自己。变态的室温大大加重了他的病情，最终活活自己热死了。。。

1830年5月16日，傅里叶卒于法国巴黎。

欣赏

到此，我们已经介绍完了傅里叶级数的三角函数和复频域形式。最后，我们欣赏一下傅里叶变换都能够模拟什么样的波形。

如果你觉得傅里叶级数只能画上面的“心电图”，那你太小看它了，我甚至可以用它来画恐龙，下面这张图是由50个频率的傅里叶级数组成，在我本地跑了将近4分钟（实在太卡），20倍速播放。

画一只可爱的小猫也不是不可以~

傅里叶发现了这么伟大的公式，连接了频域和时域，其实给我们带来的更多的是思维上的转变。当我们在时间轴上思考问题比较困难时，是不是可以换一个维度重新审视思考或许会豁然开朗。

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  crimzon 网友的相关建议: 
      

1、傅里叶变换的能够广泛应用且产生价值，是由于现实世界（或者人们对于现实世界的描述）是不连续的。

2、微观层面上，现实世界是由无数质点组成的，这些质点在力的作用在进行震动，而低维震动是高维匀速圆周运动的投影。宏观层面上，现实世界中的运动、信号都是由微观世界中的质点震动组成（引发）的；一个宏观世界中的信号，由无数微观世界的不同振幅频率的质点震动叠加而成。所以，现实中的一个信号或运动可以做傅里叶展开，且有意义。时域到频域的转化，就是将物体运动的宏观描述方式转变为了微观描述方式。

3、纯数学的傅里叶变换只是一种数学工具，而现实物理世界的特性使得傅里叶变化可以广泛应用于工业技术中。假设，存在一个平行的现实世界，这个世界是连续的（纯数学规律的世界），那么傅里叶变换可能就不适用了。

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  DBinary 网友的相关建议: 
      

既然要讲,我就从最基础的东西开始说一说,首先我们先来认识下三角函数,要说三角函数这个东西,我们首先要来说说弧度,什么是弧度呢,你可以在纸上画一个圆,选取圆的一段边,边长和这个圆半径的比值,就是该边与圆心对应夹角的弧度,不好理解是不是,没关系,看个图你就懂了

弧度的单位是rad,你会发现,所有的圆边长和半径的比值都是2πRad,而π是一个无限不循环的常数,它约等于3.1415926,可以发现弧度和角度是一个对应的关系,如果按角度制而言绕圆一周是360°,弧度制而言,就是2π了

现在,我们引入另一个在信号处理中极为极为极为重要的一个函数,三角函数,之所以叫做三角函数,是因为它的计算方式和直角三角密切相关

三角函数又常常叫正弦函数常用的主要有sin和cos两种,在高中的书本上,常常叫它们正弦函数和余弦函数,但实际在使用中,不管是sin还是cos都常常被统称为正弦函数,看上面的直角三角形, 以sin函数为例,关于这个函数的求法,可以用下面的公式来表述

也就是说sin角a的值,等于其对应直角三角形的对边比斜边,实际上我们常常用 来表示这个正弦函数,而 则表示某一弧度,如果你把这个三角形画在一个二维坐标系的圆上面,比如下面的这种形式

那么 ,当然,这个时候,正弦值还仅仅是一个"正弦值",现在你可以开始想象假如圆上的这个点现在开始动了起来,并开始绕圆逆时针旋转, 的值会如何变化呢?下面的图会告诉你答案

显然的,当我们引入动态的概念后,正弦函数随之而动,从一个定值变成了一个波,在信号处理中,我们称之为正弦波,高中的课本会告诉你正弦函数的性质和和差化积积化和差之类的公式,而我会告诉你正弦函数和其所对应的正弦波估计是信号处理中最重要最常用没有之一的重要工具

到这里既然我们说到波了,那么就不得不提几个问题和其对应的概念,现在你再看看上图,如果我们需要描述一个正弦波是不是需要下面几个问题,而这个问题的答案,对应了几个概念

1. 这个点围绕的圆到底有多大---->波幅
2. 这个点旋转的速度有多快---->角速度--->频率
3. 这个点最初的位置在哪里---->相位

当然,如果我们描述正弦波只能用上面的文字来说,未免显得不够专业,于是乎,我们用一个更加通用的公式来描述正弦波

其中,A表示振福,A越大,振福越大.

表示角速度,当然,角速度和频率 是对应关系,所以信号处理中常常也用角频率这种俗语来描述

表示相位,sin和cos两个正弦函数的差别其实也仅仅是相位不同

是这个正弦波的偏移,你可以理解为这个波在y轴上如何的上下移动,在信号处理中,这个会被统一到直流分量中(频率为0的波的波幅)

科普完上面的概念之后,要说傅里叶变换是怎么回事其实已经很容易了,现在我们来看傅里叶说过的一句话

“任何”周期信号都可以用一系列成谐波关系的正弦曲线来表示。

我们先不讨论这句话的适用条件(狄里赫利条件),这句话简直牛逼大了,这表示下面这些信号

全部可以用下面这个式子来表示

(式1.0)

如果看不明白没关系,下面这张图能让你看个清楚,如何用正弦波组成一个近似的方波

那么,有什么意义呢,要知道,如果可以将信号分解为正弦函数的累加和,不就等于知道了这个信号是由哪些频率的正弦波构成了的么,同时,我们还能知道对应频率的波在信号中的能量和相位信息.

举个很简单的声学例子,如果我们直接看一段声音信号的波形图,我们很难看出他是男声还是女声(别说男声的嗓门比较大波幅宽,河东狮吼了解下)但是从频域中我们就能够很容易分辨出来,毕竟女声的频域中,高频的能量占比会比较高

再举个很简单的图形学例子,如果把一张图像做频域分析,图像的低频代表着轮廓信息,高频代表着细节信息,相位代表位置信息,你要是想让图像变模糊,简单,把高频的能量压下来就行了,想让图像变尖锐,高频能量加上去就行了.

那么问题又来了,已知 ,我们如何把它分解为

的形式呢,实际上傅里叶变换需要解决的就是这一点,它的最终目的就是要将信号分解为上面这样的形式,好让我们把别通频率的正弦波信息给剥离出来

要说这个,我们就不得不谈谈三角函数的正交性了,

首先我们知道,对正弦波正无穷到负无穷内进行积分,其结果必定是0(主值积分，取周期)

所以根据三角函数的积化和差公式,下面的推论都是成立的

这导致了一个很重要的概念

不同频率的正弦波相乘,对其周期积分后,其结果是0!

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(我知道有人肯定会说,作者你胡说八道, 怎么会是0,老师告诉我它明明是发散的,你又忽悠我,关于这点我要说明一下,首先你的老师没说错,不过我也没有忽悠你,首先在大学高数求极限那些知识中,这个函数确实积分后是发散的,这个发散的具体原因是建立在 这种情况下的,也就是我们正常说的无穷积分,但是如果按这种玩法,基本上大半的信号处理函数都没法玩了,因此在信号处理的公式中比如傅里叶变换,默认都以柯西主值积分作为钦定的积分方式,打个比方定义 , 这种情况下,负无穷到正无穷的积分不就是0了么,所以这里我说明一下,傅里叶变换中使用的是柯西主值积分,整个无穷区间取周期倍)

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这个概念我们又叫做波的相干性,比如给你一段信号,问你信号里有没有100HZ频率的正弦波信号,怎么办?简单,把这个信号和100hz的正弦波信号相乘（准确说是一组正交的基底，傅里叶变换中就是一个 一个 ）,然后对其周期内积分,如果结果不是0,那么这个信号就含有100HZ的信号

那么剩下的问题就是如何求得该频率正弦波对应的幅度和相位了,实际上就是求式1.0的 和 下面我要甩点公式了,如果感到不适,可以选择跳过

利用三角函数的变换公式，(式1.0)可变形为

设 , 那么，上式变为

现在，让我们正式的引入正交性的性质，还记得检波手段么，这里，我们假设对 用 进行检波(说人话就是乘起来,然后为了方便计算对其在一个周期内积分)，那么就有

假设f(x)中含有 角频率的正弦波系数为 ，那么根据三角函数的正交性，上式就有

为什么会这样?你想啊,别的频率的波积分后全变0了,不就是剩下( )频率一样的情况了么.因此

进一步计算，可得

同样， 也可以使用相同的方式进行推导

因此，通过 我们可以知道这个波的波幅与相位：

好了,这个基本就是傅里叶变换中最核心的傅里叶级数了

不是很复杂吧,你是不是很疑惑,为什么长得和傅里叶变换的标准公式差的有点多呢,标准公式不是长得是这样么:

没关系,看看我们的欧拉公式

然后把欧拉公式代入傅里叶变换

你看,最终还不是换汤不换药,无非就是多了个复数,这个复数其实没有别的其它意义,作用就是在计算中和cos区分开来,扯到复平面上绕圈圈?没必要!

现在傅里叶变换讲完了。

什么,太简略了不过瘾?下面的文章带你从三角函数推导到傅里叶变换再到实际应用做出实际功能产品,包你看个爽

使用傅里叶变换制作变声器/频域隐水印:

发现知乎的动图上传有问题，看更好的排版可以去马同学的网站上：如何理解傅立叶级数公式？

此前在 “如何通俗地理解傅立叶变换？” 尝试给对傅立叶级数、傅立叶变换进行过稍微直观点的解释。本文会对公式进行细节的、代数上的解释。

1 对周期函数进行分解的猜想

拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图中，黑色的斜线就是周期为 的函数，而红色的曲线是三角函数之和，可以看出两者确实近似：

而另外一位数学家：

猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。

2 分解的思路

假设 是周期为 的函数，傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和，使之等于 ？

2.1 常数项

对于 这样的常数函数：

根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，周期为任意实数。

所以，分解里面得有一个常数项。

2.2 通过 进行分解

首先， 是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数。

其次，它们的微分和积分都很简单。

然后， 是奇函数，即：

从图像上也可以看出， 关于原点对称，是奇函数：

而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数，即：

其中， 表示奇函数。

而 是偶函数，即：

从图像上也可以看出， 关于 轴对称，是偶函数：

同样的，偶函数与偶函数加减只能得到偶函数，即：

其中， 表示偶函数。

但是任意函数可以分解和奇偶函数之和：

所以同时需要 。

2.3 保证组合出来周期为

之前说了， 是周期为 的函数，我们怎么保证组合出来的函数周期依然为 呢？

比如下面这个函数的周期为 ：

很显然， 的周期也是 ：

的周期也是 ，虽然最小周期是 ：

很显然， 的周期都是 ：

更一般的，如果 的周期为 ，那么：

这些函数的周期都为 。

将这些函数进行加减，就保证了得到的函数的周期也为 。

2.4 调整振幅

现在我们有一堆周期为 的函数了，比如说 ：

通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如 看起来处处都比目标函数低一些：

把它的振幅增加一倍：

有的地方超出去了，从周期为 的函数中选择一个，减去一点：

调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：

2.5 小结

综上，构造出来的三角函数之和大概类似下面的样子：

这样就符合之前的分析：

• 有常数项
• 奇函数和偶函数可以组合出任意函数
• 周期为
• 调整振幅，逼近原函数

之前的分析还比较简单，后面开始有点难度了。即怎么确定这三个系数：

3 的另外一种表示方法

直接不好确定，要迂回一下，先稍微介绍一下什么是： ？

3.1

看到复数也不要怕，根据之前的文章 “如何通俗易懂地解释欧拉公式 ”，看到类似于 这种就应该想到复平面上的一个夹角为 的向量：

那么当 不再是常数，而是代表时间的变量 的时候：

随着时间 的流逝，从0开始增长，这个向量就会旋转起来， 秒会旋转一圈，也就是 ：

3.2 通过 表示

根据欧拉公式，有：

所以，在时间 轴上，把 向量的虚部（也就是纵坐标）记录下来，得到的就是 ：

代数上用 表示虚部：

在时间 轴上，把 向量的虚部记录下来，得到的就是 ：

如果在时间 轴上，把 的实部（横坐标）记录下来，得到的就是 的曲线：

代数上用 表示实部：

在 的图像中，可以观察到旋转的频率，所以称为频域；而在 中可以看到流逝的时间，所以称为时域：

4 通过频域来求系数

4.1 函数是线性组合

假设有这么个函数：

是一个 的函数：

如果转到频域去，那么它们是下面这个复数函数的虚部：

先看看 ，其中 是常数，很显然这是两个向量之和：

现在让它们动起来，把 变成流逝的时间 ，那么就变成了旋转的向量和：

很显然，如果把虚部记录下来，就得到 ：

4.2 函数向量

前面画了一大堆图，就想说明一个观点， 是向量，并且是旋转的向量。

而根据欧拉公式，有：

从图像上看：

所以 也是向量。

称为函数向量，并且函数向量的点积是这么定义的：

其中， 是函数向量， 是 的周期。

关于函数向量，关于函数向量的点积，更严格的讨论可以参考 无限维的希尔伯特空间 。

4.3 是线性组合

虽然比较仓促，让我们先接受 是函数向量，那么它们的线性组合得到的也是函数向量：

根据刚才的点积的定义有：

根据点积的代数和几何意义（关于点积的几何意义可以参考 这篇文章 ）， 说明了，这两个函数向量正交、线性无关，是正交基。

如果写成这样：

可以理解为 在正交基 下的坐标为 。

4.4 如何求正交基的坐标

我们来看个例子，假设：

其中

通过点积：

可知这两个向量正交，是正交基。图示如下：

在基 下的坐标为 ，其中在基 下的坐标可以通过点积这么来算（对于正交基才可以这么做）：

4.5 如何求 基下的坐标

对于：

其中， 是向量， 是正交基，周期 。

因为是正交基，那么根据刚才的分析，可以这么求基 下的坐标：

4.6 更一般的

对于我们之前的假设，其中 周期为 ：

可以改写为这样：

也就是说向量 是以下正交基的线性组合：

是的， 也是基。

那么可以得到：

也可以通过点积来求出，最终我们得到：

其中（下面的式子其实就是在求坐标）：

5 傅立叶级数的另外一种表现形式

根据欧拉公式：

我们可以推出：

根据上式，我们可以写出傅立叶级数的另外一种形式：

其中：

解读一下：

对于复数函数，定义的点积为：

其中， 为复数函数， 是 的共轭，所以 的代数表达式中有一个负号。

顺便说一下，这样定义点积是为了保证：

怎么把傅立叶级数推导到傅立叶变换，请参看：从傅立叶级数到傅立叶变换。

文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解傅立叶级数公式？

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  leo-25-64-61 网友的相关建议: 
      

傅里叶变换的本质，说白了，其实就是一个比较过程。

是把"目标函数"和"某样本"做比较。

这么做的目的，是为了看看这个"目标函数"中的某些"成份"和这个"样本"，到底有多"相象" 。

数学上的表现形式，就是把目标函数F和正弦波e^(jwt)在0时刻做了个卷积，所以有个负号。

如果理解足够深刻的话，就能看出，这其实就是个最简单的滤波过程，把F里的e^(jwt)留下，把其他的都扔了。

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说形象点，就是有一框水果（F），你想知道里面究竟有多少个苹果,香蕉,梨，但你不知道苹果香蕉和梨究竟长什么样，只能拿它们的照片（e^(jwt)）和框里的水果一个一个对比。

和苹果相似的，记苹果+1，和香蕉相似的，记香蕉+1，和梨相似的，记梨+1。最后"一框水果"就被转化成 “X个苹果，Y个香蕉，Z个梨”了。

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这就是傅里叶变换，其实道理很简单。本科生刚接触，对其本质理解不深，而且老师照本宣科也没法给你解释清楚，导致懵懵懂懂，很正常。

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  chen-chen-47-92-25 网友的相关建议: 
      

温馨提示：为防止大家被我带跑偏，希望大家注意看每一节的标题。我已经加粗了字体。

在接下来的文字中，我会尝试把一个数学题当作小说来写，全文更多的侧重于一个人的碎碎念，质量没办法保障。

此帖不开车，敬回忆。

回忆是个好东西，它在岁月消失后永久封存在内心深处，虽然永远无法再度还原过去的生活，但它永远提醒我们：在过往的岁月，我们曾经拥有过一段怎样的经历。我试图用一种心平气和的方式将我和阿花之间为数不多的回忆以一种虔诚的姿态记录下来，我始终相信，文字是有力量的，它能够将抽象的遥远的回忆用一种更为直观的方式呈现，并且可以根据自己的喜好对过去的情节加以演绎甚至篡改，用一种偷梁换柱掩耳盗铃的方式来满足自我内心的空虚与遗憾，哪有什么真相，骗得过自己，就是真相。

本帖预计一万字，更新比较佛系。

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PART1:生活中的傅立叶变换

十年前，我读高中。未满十八岁，认识了一帮不正经的同学。

在那间容纳着五十多个躁动灵魂的教室，我坐倒数第二排靠近后门的位置。上过中学的都知道，班上最闹腾的几个学生基本都分布在这一带。中学生的闹腾包含但不限于起哄和讲黄段子。我后座叫五角星，是班上看书最多的男生，整日满嘴的四书五经，满嘴的杜拉斯、卡夫卡，当然，也满嘴的荤段子。

课间，楼道里一副热闹景象，几个男生拿着着篮球练习垫步，模仿麦蒂的投篮技术，偶尔有熟悉的女孩子经过，还会佯装扔球砸一下，然后等待女孩子充满仇恨的白眼。我和两三个同学一起懒洋洋趴在栏杆上晒太阳，一边看着楼下嬉笑打闹的学生，一边享受着被阳光包裹的安全感。那是初春时节，北方的天空湛蓝而澄澈，阳光灿烂而温暖。这时候五角星跳起来趴我们身上，被我们嫌弃地挤开，他开口道：我给你们讲个段子吧。

故事是这样的，话说有一大户人家的小姐，非常漂亮，有多漂亮呢？用古话说是“手如柔荑，肤如凝脂，颈如蝤蛴，齿如瓠犀，螓首娥眉，巧笑倩兮，美目盼兮。”当然，用现在的大白话说就是“肤白貌美大长腿，D胸翘臀水蛇腰，人见人爱、花见花开鬼见鬼痴呆。”此等美女子到了适婚年龄后，她父亲在门前张贴了一告示，大概意思是说吾家有女，尚未婚配，欲寻得如意郎君花前月下，携手相伴此生。告示一贴出，门口前来求见的适龄青年络绎不绝，皆聚于庭院之中，府中丫头数了数，足足有一百位公子。小姐静坐闺房，心中不免犯愁，这么多男的，逐个相处选择貌似不可行，但又不想放弃任何一个潜在的优质男性。她思索良久，心生一计。

姑娘让丫头召集了这一百个男青年，然后吩咐丫鬟传话下去：“我家小姐说了，不求男子形比沈约，貌胜潘安，但求誓无二志、情比金坚。”言外之意就是，帅不帅不重要，对感情认真才是最重要的。语毕，有36个人热烈鼓掌，拍手大好。然后，丫鬟就让人把这36个男的赶出去了。随后，丫鬟进屋禀报小姐：小姐，已经按照您说的，把这36个“丑逼”赶出去了。（信这种鬼话的都是丑逼，所以才拍手叫好，而真正的帅哥却因为自己的外貌优势没有发挥出来，所以没鼓掌）

然后姑娘又吩咐丫鬟说下一句：“不喜男子良田万亩、豪宅数间。但爱勤奋努力、鸿业远图。”剩下这64个男的中，有25个鼓掌，鼓完掌还竖起一只大拇指似乎想点个赞。丫鬟把这25个也赶出去了，禀报小姐说：已经按照您的吩咐把这25个“穷逼”赶出去了。

小姐又吩咐丫鬟说下一句：“不喜男子屌长似驴，但求一倒一颠眠不得，鸡声唱破五更秋”。（大不大不重要，技术才重要）剩下这39个人中，有29个鼓掌说，我也这么认为。于是，这29个“短小”的男的也被清理出去。

事毕，丫鬟进屋去问小姐，剩下的10个怎么办，小姐媚眼流转，面若桃花，一脸娇羞，轻启朱唇，道：

‘’快把那10个“财大器粗的帅哥”给我请进来。”

经过这番操作，报名的那100个男的，变成了：36个丑逼+25个穷逼+29个短小+10个器大多金的帅哥。一目了然。

看完这个故事，我们几个的脸上都泛起了淫荡不堪的笑，在阳光下，贱兮兮的。我们纷纷佩服五角星有才，也不由得为小姐的机智所折服。

我后来就在想，这个段子真的特别妙，可以说是蕴含着深刻的生活智慧以及人生哲理，就这套逻辑，当年大贪官和珅也用过，话说当年饥荒，朝廷命和珅发放赈灾粮款。只要一发吃的，方圆数十里的灾民蜂拥而至，仅有的赈灾粮禁不住哄抢，很快就完，但沿路依旧饿殍满地。这部分抢粥喝的人当中，有些是真的要饿死了，而有些仅仅是想占便宜。于是和珅想了一个办法，把米换成平时喂猪用的糠，而且还在里面撒沙子，这样一来，哪些捡便宜的村民嘴叼，就不去抢这类吃的。而那些真正要饿死的人，才不管有没有沙子，总比观音土和树皮好吃。依旧上去哄抢。

经过这番操作，抢吃的村民变成了：一部分真正需要粮食的+单纯想捡便宜的。

高中时代听过的这段子似乎使我窥探到了生活真理。我时常在想，我又帅又有才华，知乎上私信排队跟我表白的人多的可以排满中关村大街，可能还要在三环上拐个弯。这帮私信搭讪的人涵盖了各个年龄阶层，有离异少妇、有都市白领、还有纯情学生。这些人怀揣着各种各样的目的，有想让我教她数学的，有想给我生猴子的，还有插科打诨的，比如：

假如，我要在我主页签名上加一句“非单身”，表白的人会变得很少。如果仍有表白的，那就只能说明对方爱我爱的死去活来、礼崩乐坏，宁可拆墙角也要表白，挣脱束缚，跨越世俗，这是一番怎样的爱啊。

经过这番操作，我能把这帮人变成：非真爱的+真爱的。

多年之后，上了大学，我才知道，当年那个百无聊赖的课间所探讨的人生哲理，用数学语言来描述就是“傅立叶变换+滤波”。

至此，可以放一个初步的结论：

傅立叶变换就是面对一团杂乱的信息，为了挑选方便，将其分类排列好。就像下图这样。

滤波就是把你不想要的分组剔除。

以上，从我们的生活经验出发，总结出来一个道理：

用接地气的生活语言形容这个道理就是：面对一团乱哄哄的东西的时候，可以通过某种操作，来将这团乱哄哄的东西分类，分类完毕后，再选择出自己需要的。

第一部分完结，从生活经验出发，十分不严格地讲述了傅立叶变换的思想。

当然，傅立叶分析、傅立叶变换、傅立叶级数是三个不同的概念，这是后话。此外，上文的几个例子也不严谨，接下来说一个严格的傅里叶变换的例子。

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PART 2:物理中的傅立叶分析。

十年前，我读高中。未满十八岁，暗恋一个姑娘。

高中时代的大课间都会跑操，操场在东，主席台在西，操场周围有一圈高大的白杨树。常年生病旷课的体育老师站在主席台上以吓唬畜牲的口吻命令我们迅速排好队伍。每个班级队伍前都有一个举班旗的旗手，表情坚毅庄重，一般由班上的品学兼优的学生干部从事这项光荣伟大的工作。她就是隔壁班的棋手。留着齐肩的头发，一半头发扎起来在头顶挽成了一个小丸子，与朱茵有几分神似，很瘦很干净，穿一件一尘不染的纯白衣服，站在阳光下发出刺眼的光。

那天，对她的偷瞄一直持续到跑操结束，我把自己幻想成一个诗人，能够吟唱出两句摆得上台面的句子来满足自我内心的虚荣，未果。“娴静犹如花照水，行动好比风拂柳。眼前分明外来客，心底恰似旧时友”，嗯，没有那句比这句更加符合我此刻的心境。

从那天起，我开始正式暗恋她。

朴记告诉我说我暗恋的那姑娘叫阿花，是他的小学同学。

朴记是我们班上一朝鲜族同学，姓朴，每天跟我们分享各种一手校园八卦以及NBA赛事资讯，我们亲切的称他为朴记者，简称朴记。朴记告诉我这条重要线索的时候，两手扶着栏杆，所有所思地望着远方，嘴微微张着，两唇之间残留的口水拉出一条透明的丝，在阳光下，由于薄膜干涉发出彩色的光。

高中的时光，忙碌而轻松。午后的阳光总是那么刺眼，讲台上的语文老师讲课总是很催眠，她说有一种夸张的修辞手法，是通过超前想象来实现的，比如这句“农民伯伯看到绿油油的麦苗，仿佛闻到了白馒头的香味”，我觉得好无聊，就这种修辞句式，我能不带重样的写一本，比如，“我看到漂亮的阿花，有一种当爸爸的喜悦”。那时候的我，思维敏捷、下流至极。高中前两年，时间粘稠的像一杯浆糊，我们每个人内心充满着躁动与不安，在浆糊里窒息似的挣扎。

她每次从她们教室前门出来，经过我们教室后门，我能通过那阵香风的味道判断出是不是阿花。到现在我都记得那个味道，那是一种混合了洗面奶、保湿水、洗发水、洗衣液以及她身体的独特味道。

马上高三了，我趴在桌子上又一次睡了一个彻午，午休结束的铃声响起，我艰难的从课桌上爬起来，坐在座位上回魂，心中一阵罪恶感油然而生。后座的五角星跟别人说“少不看水浒老不看三国男不看西游女不看红楼，终身不看金瓶梅”，那是我第一次听说金瓶梅的存在。

我感觉眼前的世界一点点趋于真实，慢慢从混沌中一点点清醒，上课铃响后，我转过去问他，为什么终生不看金瓶梅，他告诉我，金瓶梅是一本黄书。

之后，物理老师提着拖鞋睡眼惺忪的进屋了。物理老师是个不拘小节的人，这一点从他的发型和穿搭便可以知道。如果观察其他地方，总会有不同的收获，比如今天，他牙齿上有一个韭菜叶。

那节课的讲的是光的色散，光通过三菱镜之后发生色散。我从来没有预习的习惯。第一次看到如此直观的感受到：光因为频率不同，而在三菱镜中走向了不同的路径。

学过高中物理的人对下面这幅图应该很熟悉。学名叫光的色散。这也是解释彩虹形成的原理。

物理老师告诉我们：我们平时看到的自然光是没有任何颜色的，俗称白光，里面包含了各种颜色的光——红橙黄绿蓝靛紫，以及人类无法识别出颜色的光。光能呈现不同颜色，本质原因在于其频率不同。我们平时看到的自然光是包含了各种频率的光线的混合体。

如果让这束白光通过一个三棱镜，由于不同频率的光具有不同的折射率，导致它们穿过这个三棱镜之后，走向了不同的方向。利用这个原理，就可以把白光中不同频率的光分离出来，并且按照频率的大小关系依次排开。

杂乱的白光=红光+橙光+黄光+绿光+蓝光+靛光+紫光+其他看不见的光。

三棱镜对于白光来说，相当于做了一个傅里叶变换。

比较上图与上一节第一张图会发现，这些图都在表达相同的道理：

即，一团杂乱的东西=具有a特征的A+具有b特征的B+……

当然，那个时候的还并不明白什么是傅里叶变换，我只是隐约觉得这个世界的奇妙深不可测。白光融合了所有频率的光，经过三棱镜最终走向了不同的道路。那么人是否也会拥有各自的频率，或者说拥有一种类似于频率的属性呢？就像此刻我们虽然坐在同一间教室上课，但是以后会遇到一些事情，导致我们就会走向不同的人生道路。我为自己不小心开的脑洞而感到罪恶。快高考了，还有心思瞎想，还想不想跟阿花一起了。我心底那个积极的小人又出来鞭策我了。而就在此时，我发现这件事情细思恐极。如果我高考没考好，岂不是就不能和阿花在同一个城市了？这算不算“走向了不同的路径”？高考是个分水岭，那他是不是就相当于一个三棱镜？虽然我们此刻纠缠在同一个学校，将来会出现很多个三棱镜最终会把我们引到不同的人生道路上。那么，人是不是有频率的？

伴随着我一不小心打开的脑洞，下课铃响了，我发现物理老师大门牙上沾的那片韭菜叶子不见了，第一排同学脑门上多了一片韭菜叶子，同物理老师牙齿上沾的那片大小一致，形状相同，在阳光下亮晶晶绿油油。（本段致敬冯唐）

总结：傅里叶变换其实就是把一团杂乱的东西，按照频率的不同依次分组。

第二部分完结，通过物理的例子直观理解傅立叶变换。

后记：高中毕业五周年，我们两个兄弟班一起组织聚餐。三杯两盏淡酒下肚，我微醺，且恍惚，我笑着跟阿花说，“妈的，我天生基因不好，脸上皮松，生下来就有褶子，显的又老又丑”。阿花说，怎么就丑了，男人老一点才有魅力，显得成熟。听到这句，甚感欣慰，我问阿花，你跟你厦门那个前任好了四年，为什么最后分了呀。

阿花说

“因为他长的又老又丑”

随后，我用阿花的手机请别人帮我们拍了唯一一张合影。

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PART3：为什么要进行傅立叶变换

十年的漫漫长夜和那些阳光灿烂的白昼过去之后，岁月只留下记忆供我缅怀过去，我感到自己的记忆只能点点滴滴的出现，而且转瞬即逝。当我意识到自己与青春的交集只剩下几幅过往画面的时候，我开始思考一个问题：为什么大多数人都喜欢回忆青春？我觉得，一切冠以青春的命题都脆弱不堪，我们回忆青春，除了它是一个鲜活的载体的可能，更多在于它的短暂，而非美好。我高中时代的青春，懵懂、慌乱以及迷茫参杂在一起，形成一种透骨的无力感，美好个jb。

6月3号，班主任老师宣布第二天放假，要为高考腾地方，并说了一句，再过几天，高三的学生高考完了，你们就是高三的了，回家抓紧时间学习。我的高中生涯似乎按了快进键，这让我措手不及。

我觉得我必须要做点什么，为了我的暗恋。我很郑重的给她写了一封并没有任何表白信息的信，结尾附上我的qq号，随身带着，距离放假还有一节课的时候，阿花经过我的身边，我把信交给她。她先是愣了一下，然后看了看我，又低头把信收起来，匆忙跑开。

回家后焦急等待，她当晚加了我扣扣。

我们聊了两天，包括个人爱好、日常吐槽以及喜欢的大学，她说她想考人大，末了她约我开学后第一个周末去旱冰场。

旱冰场喧嚣不堪，放的是跳楼大甩卖专属背景音乐《Golden Sky》。阿花滑旱冰的技术特别好，能正着滑、倒着滑，转圈滑。她说，我教你滑旱冰吧你个笨蛋，我说我可能太笨了，她说聪明的我不教啊你个笨蛋。

随后，她扶着我的胳膊，手把手教我。我看到她的发丝细而软，脸蛋白里透红，脖子上隐约可见青色的毛细血管……

稍微熟练后，她拉着我的手滑。我感觉她的手像脱骨鸡爪，软而绵，而我整个手臂，就像过电一样。

那天我终究是没学会，我靠在围栏上远远望着她一起一伏的身影，像一朵花，还有，胸前春桃初胀。

我感到一种无力感，我喜欢美丽的姑娘，我喜欢牛逼哄哄，我喜欢飞黄腾达，但我一无所有，只剩一种无法驾驭美好的无力感。那年的那个下午的我，永远也不会知道，在接下来的十年里，我拼命努力试图去消除掉的无力感，只会越来越强烈。

阿花在远处冲我喊了一句话，那句话淹没在喧嚣之中，我没听清。

那天，阿花到底对我说了什么。似乎永远无法知晓。

回学校后，我疯狂做题，

当我做到光的色散的物理题的时候，我又想到阿花说的那句淹没在嘈杂声中的话。我在想，世间是否有一种设备能够将杂糅在一起的声波按照频率将其剥离开，就像利用一个三棱镜能够把光分离一样。声音也是波，光也是波，二者之间是否会有一个相同的机制。

下课后，我去了物理老师办公室，他喝茶。我问他，老师，是不是只有我们学到的光能够发生色散，其他频率的波是否也会存在色散？物理老师喝完一口茶，用手把不小心喝进嘴里的茶叶拿出来重新扔回杯子里，用一口浓重的保定方言说道“zhei个问题，问滴挺好，上喽大学就明白lia，你说滴这个叫傅里叶变换”。之后他拿出纸笔，开始给我演示。

他告诉我说，色散这种效应跟波的频率没关系，波都存在这种色散。以前学习电磁场的时候选讲了调频广播的内容。各个电台发射各个频率的电波，比如fm103.1啊fm90.5啊，这个数字就是频率，这些频率在空中混在一起，彼此纠缠。手中的收音机其实是能听到各个频率的声音，但是每个台都听不清楚。你调整你收音机的这个动作叫调频，就是调整接收频率的意思。把其他频率的声音过滤掉。只听你想要的频率。然后他给我画了一张图。大概就是这个意思。

四个电台同时发送不同频率的波，彼此相互纠缠，变成“一团乱麻”。这团乱麻似的东西相互叠加，传到收音机之后，变成了四段波的矢量和。如下图。

如果将上面的信息直接播放，将会什么都听不见，为了听清楚，收音机要做的事情就是从上面叠加之后的声波中挑选出特定频率的声音。为了达到这个目的，需要做一个傅立叶变换。

上文提到，傅立叶变换就是把一团乱糟糟的东西给按照频率排开。显然，上面那团叠加之后的声波，按照频率排开应该是下图：

把上面的图画在一起，应该是下图：

想收听特定的电台，只需要调旋钮，选接收特定频率即可。这样，就能从那团乱麻之中挑选出某一段特定频率的声音了。

我接着问他，你刚才说的是超声波，那有没有一种东西，能够直接把普通的声波进行加工和挑选。比如，在闹市中，只听某个人的声音，他说，

理论上应该有，和收音机原理一样，但是好不好用就不知道了，可以试试录音笔。

之后我又问他，那您刚说的傅立叶变换是什么。他点燃一支烟，说，你在这个自然界中所感受到的任何信息，都是在时间坐标下的感受。比如，我们两个之间的对话，说白了就是声波。声波是什么样子的呢？横坐标是时间。这就叫时域，意思是这个区域是按照时间的不同来排列的。而每个人声音的不同是频率不同，横坐标是频率。这叫做频域，意思是这个区域里的东西，是按照频率的不同来排列的。

把同一件事从时域换到频域，就是傅立叶变换。把频域换到时域，就是傅立叶逆变换。

讲完这些，物理老师问我听完这些有没有什么想说的。

我有些蒙，嘴角抽动了几下，说“老师，您今天穿的袜子不是一对”。

那天，从物理老师办公室走出来，屋外的阳光依旧明媚刺眼，路旁的白杨树被风吹动发出呲啦啦的声音。我似乎并没有一种解决问题之后的满足感，取而代之的是一种再也无法搞清楚阿花那天到底说了什么的空虚与遗憾。

距离那天已经过去十多年，回首往事有时就像是翻阅陈旧的日历，昔日曾经出现过的欢乐和痛苦的时光成为了同样的颜色，在泛黄的纸上字迹都是一样的暗淡，使人难以区分。这似乎就是人生之路，经历总是比回忆鲜明有力。而回忆却比经历更加持久。

说回到傅立叶变换。

由于我们时时刻刻都在接收着世间万物所传递出来的信息，这些信息都是放在一个横坐标为世间的坐标系当中，很多信息柔和在一起，相互叠加，形成一团乱麻，乱糟糟的。你无法分辨。为了选取自己想要的信息，需要把他们按照频率排列开。你选择自己想要的即可。

现在再进一步严格化傅里叶变换的概念：傅里叶变换，就是把时域里的一团乱糟糟的信息，按照频率的不同依次排列好。傅立叶变换前后，信息本质不会改变。

小结：阐述了为什么要进行傅里叶变换。即：从一团乱麻中挑选出自己最想要的东西。

后记：旱冰场之约过后，我开始疯狂学习。五角星觉得我是被应试教育迫害了，一直试图把我从苦海中剥离出来。他以笔杆子为武器，以我为原型，写了一篇名叫《纯灰年代》的小说，以幽默诙谐的风格描写了一个高中生在一个高考大省、面对高考压力、出现一种疯狂刷题的病态。后来，他去上海参加新概念作文大赛，拿了个奖，一战成名。后来变成杂志《萌芽》的常客。把《纯灰年代》发表了。该文与本文故事有出入的情节，请以本文为准，特此声明。

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PART 4:如何进行傅立叶变换（1）？

十年前，我读高中，差两个星期满十八岁。

当时班里没有人拥有手机这么高级的设备，土豪东哥除外。东哥的手机块头很大，来电话时周围还有一圈跑马灯闪烁，炫酷的很。手机里存了黄片，想借来看的话，午休时间5块，熄灯后10块。东哥的生意逐渐拓展到整栋宿舍楼，来找他租手机的络绎不绝，形形色色，有的光着膀子直接吼“东哥，快，我要租手机，我要看片！别拦着”，我看到他胸前的两坨肥肉也随着上下抖动，想笑不敢笑，怕挨揍。有的顾客很斯文，客气得小声询问“请问你是东哥吗？那个……我……”有趣的很。

后来东哥跟我说过，他真的是发自内心的为同学服务，青春期的少年看黄片，就像春天里一颗小草的生长一样自然，没有什么目的。风起时一匹公马发情一样天经地义，也没有什么目的。草长马发情，绝非表演给什么人看的，这就是事实本身。（本段致敬王小波）

关于5块、10块的价格，也是经过深思熟虑的，且不说物价水平、风险系数，万一把价格定低了，戕害了我们祖国的栋梁罪过可就大了。

后来，东哥去天津上大学，把这套服务广大学子的赤诚之心也带了过去，创办了一个叫涉川教育的公司，被河工大学子戏称为射穿教育。

我们没有手机，但几乎人人都有一个本子，写一些公开的随笔，写完赶紧拿给别人看，别人就会在文章的各个角落里添加评论，笑点十足。那时候的我们，已经有了自溢的表达欲，用老师教给我们的知识骂老师、骂社会。这应该是纸质版的博客吧。

在距离我十八岁生日还有两个星期的时候，五角星开始不断游说我要过一次别开生面的生日。理由是十八岁是一个标杆，一定要有仪式感。给自己一个交代。只不过，当时我满脑子都是高考失败配不上阿花的想法，就以距离高考还有三个月为由拒绝了。为这件事他很鄙视我。他认为我成功的被培养成了高考机器。

我生日那天，他随手从花坛里拔了一棵草，说，这草你收着，生日礼物。也算是很有仪式感了。你想啊，一百年以后，你都118岁了，我不希望你那时候对于18岁生日这天的记忆一无所有。

确实，我十八岁生日那天做了哪些题，说了哪些话我全都忘了，记住的只有他送我一棵草。

五角星曾经扬言，一个月后，他的十八岁生日一定要轰轰烈烈。结果那天三模考试，他的计划泡汤。

晚自习的时候，他戳戳我，说，我写了一首18行的减字诗，纪念自己的十八岁，给你看看。我说，我一听减字诗我就不想看，牛逼的诗词一定犹如《将进酒》犹如《蜀道难》，充满自由，保持文字节奏的同时还能放荡不羁、信笔开河。而非像《雨霖铃》《江城子》那样直接在模版里填词。伟大的感情岂能在特定的字数规定下酣畅淋漓地表达？这跟八股文有什么区别？然而，看完后，我还是很震撼。那首诗是这样的：

习惯那些花儿开了谢了堆砌成冗长的笑意

细数着日出日落却再找不回丢失的结局

我种下十八个四季收获十八年的沉泣

把时间一段段摔碎在光与影的罅隙

谁让谁的归途成为不能说的秘密

爱与恨写进一本会遗忘的日记

笔尖氤氲着年华淌过的水迹

记忆烘不干没有你的天气

曾经的感动铺满了心底

疯长了十八年的情绪

倾泻成华丽的葬礼

来吧来吧来下雨

湿透所有别离

前行路刻下

你的笑语

会有爱

还有

你

以现在的眼光来看，充满了浓浓的非主流葬爱风格。当时我一口气读了好几遍，然后问他，这诗有名字了吗？

“还没有，你有什么愚见？”

我觉得小学生的作文里对于感情的抒发永远都类似于天总是蓝的，水总是清的，红领巾是国旗的一角、永远都是鲜艳的，所以小学生永远都像小鸟一样快乐。而我们处于青春期，青春文学作品必须得疼痛，必须得呻吟，越深沉越显得牛逼。

想到这些，我说“不如叫《骊歌轻唱，忍把十八载年华埋葬》”

行文至此，驻笔片刻，感慨良多。在那苦闷的高三生活中，我们班里的人仍然能够在百忙中抽出时间来写写文艺（作品再烂也是文艺），看看文艺，并以之为乐，实属难得。正如阿城在《棋王》里想要表达的那样，艺术永远都可以供我们在任何环境任何年代里尽情陶醉、尽情挥霍。（本段致敬阿城）

过了没多久，高考来了。阿花考的怎么样，我无从得知。

我在家收麦子。坐在田间地头上的树荫下望着远处的机器在金黄的麦田里轰隆隆收割。鼻腔里充斥着麦子被太阳炙烤后发出的干烫味。我想，语文老师骗人，别说绿油油的麦苗了，我就算看到金灿灿的麦田，我都没有闻到白馒头的香味。

这时候，我收到阿花发来的一串长长的短信，她在短信里说她考砸了，准备复读，还有，谢谢我这段时间以来的陪伴，但是希望我忘了她，她有男朋友，只不过初中毕业就去当兵了，她还在等她，并对此事表示抱歉。

就这样，我十八岁的初恋，还没有表白就已经结束了。我为了给自己找台阶下，回复她说：“我毕竟没有找你表白，不用抱歉，我祝福你们”。

之后我去地里扛麻袋背麦子，夕阳西下，放眼望去天地间是一望无垠的金黄，红色的落日把我的身体印的通红，我心里想的是“阿花啊阿花，早知道你是这种选手，我做题就不那么努力了”。

上了大学，自然会学到傅立叶变换，我还记得我与傅里叶变换结缘是因为阿花，傅立叶变换与阿花之间有脱不开的干系。大学一年级的我，还与阿花保持着一周两次通话的习惯，当然，这是后话。在大一下学期，我以一种虔诚的心态学习傅立叶变换。

傅立叶发明傅立叶变换的事情是这样的：

傅立叶公爵当年是搞传热学的，有一天他需要解一个非稳态偏微分方程，然而卡住了。

这里多嘴解释一下。

普通方程就是求解未知数。

微分方程就是通过某个函数的微分来求解原函数。

偏微分方程就是这个函数不只一个自变量。

非稳态偏微分方程就是说这个函数的其中一个自变量是时间t。

由此可知，傅立叶老爷子当年要求解的函数这个非常复杂，比下图要复杂的多。

导致他利用现有的数学知识无法解决。

但是，傅立叶老爷子具有超凡的物理直觉。他从物理角度上分析这个问题：他认为，此函数之所以如此复杂，是因为在实际的传热过程中，有很多个传热效应掺杂在一起。这多种传热效应组合、形成一团乱麻，使他无法求解。既然如此，那如果把这些传热效应依次分离开，处理起来是否会简单呢？

就好比当年，我听不清阿花的声音，是因为旱冰场有各种各样嘈杂的声音掺杂在一起，形成一团乱麻，传入我耳中的声波变成了一个极其复杂的存在，我无法分辨。如果把这些声各自分离开，我就更容易分辨清楚每种声音。

傅立叶开始逐一思考各个传热效应。最后他发现，对于每一种传热效应，竟然都是一个很简单的正弦波，仅仅四个简单的正弦波相互叠加，就能够生成一个看起来极其复杂的函数。

比如，上图中的函数，看起来完全没有任何规律可言，可以说相当复杂了，但实际上，上图中的函数，其实仅仅是四个正弦波叠加而来的，如下图。

上面四个正弦波具有不同的频率，为了处理方便，我们可以把上面四个正弦波按照频率依次排开。就变成下图这样：

还是前面那句话，好多东西组合在一起，会形成一团乱麻，为了方便处理，可以将每个东西按照频率大小依次排列开。

好了，以上脑回路是我编的。接下来就是傅立叶老爷子的真事了。

补充一个常识，任何几个周期函数相互叠加，组成的新函数肯定也是一个周期函数。（没记错的话应该是高中知识？）

傅立叶认为，上面我举的例子比较简单，而且比较巧合。假如有一个复杂的函数，而且这个函数并不是像传热学问题或者声学问题那样，由几个效应共同组成，而是由于函数本身真的特别复杂，这种时候还能不能继续利用上述思路简化。

他极其大胆的认为：可以。

他的理由是这样的：假如有一个函数，并不是由于几个正弦波简单叠加，那么，完全可以仿造一个新函数，新函数的曲线与想求的函数曲线一模一样，而这个仿造出来的新函数是由几个正弦波叠加过来的。这样，我就可以把新函数中、各个正弦波按照频率依次排开，利用上述思路处理后即可求得新函数，新函数与原函数一样。

傅里叶这个想法有两个明显的问题：

一个问题是：你怎么可以如此大胆地认为，任何一个函数都可以用正弦波叠加就能仿造呢？所以，拉格朗日认为傅立叶是瞎扯，他说：你把下面这个矩形波函数用正弦波叠加仿造出来，能仿造出来算我输。

在那个没有电脑的年代，拉格朗日说的不无道理。因为从定性上讲，正弦波属于光滑的、没有棱角的函数。而上述矩形波函数有棱角。肯定无法匹配。

另一个问题就是：我们可以预想到，假如傅里叶真的拿一系列正弦波叠加去仿造与原函数一模一样的新函数的话，为了保证精度，他肯定需要无限个正弦波，这就意味着，这些正弦波拥有无限个频率，有频率为1的，有频率为1.1的，有频率为1.11的……无穷匮也。换一种说法就是，把无数个正弦波按照频率依次排开（频域图像），应该是一个连续的函数，不再像上面画的频域图像那样，是一个个离散的频率。

所以，我们可以进一步推测，傅立叶变换公式将不再是之前我们认为的那样：

而应该变成：

第一个式子叫傅里叶级数，第二个式子叫傅里叶变换，傅里叶级数和傅里叶变换统称为傅里叶分析。

基本思路有了，现在的问题是：如何写出无限个正弦波叠加呢？下节欧拉公式。

小结：阐述了傅立叶发明傅立叶变换的思路，他认为，任何一个函数，我都可以用很多个正弦波叠加的方式仿造一个一模一样的函数。仿造出来之后，再把这么多正弦波按照频率依次排开。

后记：阿花让我放弃她、并坦白她有男朋友的当天晚上，跟我诉说了她男朋友的故事：她男朋友叫舒农，家住香椿树街，生活在一个没有关爱的家庭，品行不端的父亲对他疏于管教，使他成为一个标准的带有严重自卑感的“问题少年”，为了扬眉吐气、受孩子们尊敬，终日打架斗狠，似乎这才是这个年龄的孩子获得认同感的唯一方式。故事如果按照这个方向继续发展下去，他要么被人打残，要么进少管所，所幸，阿花的出现改变了他整个的人生轨迹。后来，在阿花的劝说下，舒农去当了兵，成了一个干净阳光的男子汉。（本段致敬苏童）

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PART 5:欧拉公式

十年前，我高中毕业，已满十八岁。

那年暑假去学校领通知书，彼时学校的复读班已经开学，我知道阿花就坐在某间教室里上课。上课时间，学校里出奇的安静，原来母校这么漂亮啊，甬道两旁铺天盖地的垂柳安静的悬挂，恰到好处的映衬着整个校园的肃穆。我沿着学校走了一圈又一圈，看了一场篮球，然后走出校门，来到那家熟悉的店面吃了一碗牛肉拉面。以前的周末下午，总会有两节课的闲暇时光，我和朴记、五角星他们也会打一场篮球，筋疲力尽之后会出门去吃一碗奢侈的牛肉拉面。今天，我一个人又把这些事按照顺序做了一遍，算是完成了我对高中母校的道别。

学校南门外是开元寺塔，我坐在广场长椅上，盯着学校门口发呆，嗯，此时我还没有向阿花正式道别。后来，我找了一个“阿花太忙，不方便见我”的借口，决定不道别了。我点开她的qq空间，给她留言：

人大不远，明年不远

开往北京的火车只为有梦想的人晚点

幸福不远，爱情不远

明年六月，把酒狂欢

……我掏钱

留言完毕，返回主页的时候，我看到她的qq签名是“世界上最短的咒语是一个人的名字”

八月中旬，阿花联系我，她说她实在受不了复读班的变态生活，也实在没有勇气赌明年就能考上人大，所以，她放弃了，要去厦门读大学。也就在那段时间，她与舒农断了，qq签名也改成了“要到一个有海的城市去哭”

我与阿花又恢复了联系，我依旧没有表白，尽管她知道我喜欢她，尽管我也知道，她对舒农有太多不舍和无奈。

读了大学，认识了一帮损友。

读了大学，才知道原来城里的孩子都请家教补课。

读了大学，才知道长途电话费这么贵。

我买了一张IC电话卡，在那种电话亭30块钱能打500分钟，我与阿花每周通两次电话。

我找了一个家教工作，准备攒够钱买一张飞机票去找阿花表白。每周六早晨五点半起床，坐一个多小时的公交车去小孩家里上课，晚上在他家吃完饭回学校。到学校已经九点了。一天能挣960。我第一次感觉，赚钱太容易了。如今，我天天为找工作焦虑，我才明白，结合物价水平，十年那个我，是时薪的最高峰。

我比较爱热闹，带着暴发户的心态，每次拿了钱，都要请大家去外面吃一顿。所以，去找阿花的机票钱还没有攒够。

有一天，龙哥给我发飞信：晚上去吃鱼？

我回：下次吧，我这两天没钱了。

龙哥回：钱呢？

我：草泥马

在我还没有攒够钱的时候，阿花在电话里跟我说，她要谈恋爱了。对方是班里同学，对她挺好的，人也长的挺好。再一次，那种深深的无力感吞噬了我。憋的我喘不过来气。最后，我没等阿花安慰完，我对她说

“再见！”

我打电话喊龙哥出去吃鱼、喝酒。龙哥陪我喝的断片，我背他回来。回来路上，我一边忍受深秋的寒冷，一边泣不成声。晚上，泪水打湿枕头，无力的悸痛感不断折磨我的心脏，借着酒意，我在纸上写下一封不会寄出去的信：

我想把此生爱恨

用黑色流淌在这个秋天最后一片落叶的背面

寄给昨天

让冗长的冬季来安葬对你的思念

一句再见

在你我之间插入了一千年的时间

让我们再也看不到当初的容颜

只是

在纷扬落叶的那棵树下

一个人，睁着眼想念

我怕时间把冬日老树的枯枝折断

从此再回到没有你的春天

暗自想你却被眼泪看见

从此便在孤单的夜里决堤漫延

却再不能沾湿

你曾用手写在我脸上的爱怜

可是你曾像花儿一样笑了啊,只被我看见

我说爱自说出口起就不会变

我说错在当初我们曾经遇见

说好的幸福是命运的签

说好的爱你却再回不到从前

从不敢奢求你在爱与友之间划清界限

就像我们竟感受不到那是夏天

世界结了霜来温暖谁那

绝望的、用霜结成的眼

一句再见的温度

生生地让牵着的手

断！断！断！

生生地

扭转了冬天与夏天

可我还爱你呢

却再不能让你听见

就像在旱冰场的我不懂傅里叶变换

感谢命运让我们拥有那段牵手滑过冰场的时间

在回忆中

一直，一直向前 无数光年

我尽量用写字的频率去揣测你心中回忆的线

它将牵向哪里呀？

它也在想我吗？

我想用它们的契合来告诉你

传说中永恒的牵挂

一直,一直都在我的心间

无论

再见不再见

第二天，我完全恢复了理智，就告诉她，没什么，我看开了。这样，我们依旧是朋友，只是，我们联系的频率，平均两个月一次，每次只聊几句毫无营养的客套话。

再后来，阿花问我数学问题。她问我什么是欧拉公式。

我说，欧拉公式就是：

她说她知道欧拉公式怎么写，关键问题在于，怎么理解。

我说，记住就是了。

她火了，说，“你是不是找抽，老娘现在快被这个折磨死了，当年我就只知道记住虚数的平方是负数，现在，开始又出现了这么个东西，我无法理解也就罢了，关键我怎么都想不通这等式怎么可能成立。”

我清了清嗓子，说，

你还记得泰勒公式吗？话说在一百多年以前，还没有计算机、计算器，人们根本没办法快速计算三角函数、对数函数以及开方等。为了解决这个问题，泰勒提出了泰勒展开。后来佩亚诺、拉格朗日、柯西等人充分完善了这个工作，以前你学到的洛必达法则，罗尔定理、拉格朗日中值定理，以及现在卡住的欧拉公式，都是可以用泰勒展开的。

ps:泰勒展开的回答：陈二喜：怎样更好地理解并记忆泰勒展开式？

正是有了泰勒展开的理论，所以，你如今才可以方便的用计算器计算cos2。

利用泰勒公式可知：

把x替换成it，就可以得出

综上，欧拉公式得证，欧拉公式就是这么来的，我告诉阿花，假如当年你学了泰勒公式，你也能发明欧拉公式。

后记：阿花最后跟厦门的这个男生分手了，她原话是这么说的：“我没有多少青春陪着一个人一穷二白”，本科毕业后迅速找了个有钱的男朋友，闪婚。高中毕业五周年聚餐上，我与阿花拍了唯一一张合影，当时，她已经戴上了结婚戒指。而那时候的我，衣品很差，全靠颜值死撑。

PART 6:如何进行傅立叶变换（2）？

未完待续……

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你的感觉没错，确实容易产生这样的感觉。因为紧致性（简称紧性）的定义本身是与实数连续性没什么关系的（我更愿意称这里的“连续性”为完备性，因为我总感觉连续性是用来描述映射的，完备性更科学一点）。

首先，什么是紧性？就是任意开覆盖都有有限子覆盖。怎么理解呢？实际上，紧性就意味着一种“有限性”。它仿佛条条框框的约束，把一个集合的性质约束得很“有限”，这就是紧。具体来说，就是：紧集必是有界闭集。也即，如果一个集合是紧的，那么首先它不能无界，其次不能开。无界和开有一种共性：没有边界（boundary），也就是没有了“紧”的束缚。反例当然很容易举，随处可查。通过阅读反例你大概可以更理解到我的意思，也可以明白为什么这样定义紧性。

那么，这又与实数的完备性有什么关系呢？实数的完备性指出的是，在实数集中，有界闭集都是紧的，结合上述文字，也即这二者等价。仅以 为例，我们来回想一下这个定理的证明过程，大致是这样的：利用反证法，对一个有界闭区间，将其无限细分，且每次都存在细分的区间都不能被有限开集覆盖（否则矛盾），最终由闭区间套定理得到一个聚点，它的开邻域可以覆盖无限细分的那个区间，矛盾。这里哪用到了完备性呢？闭区间套定理。

怎样直观理解这个证明的想法？实际上我们可以倒过来看。一个孤立点当然是紧的，可以说它的一切都被限制（约束）了。由于实数的完备性，每个孤立点之间没有“空隙”，因此，它们可以共有这种紧性，也就是说，可以把这种紧性“连起来”，从而整体上也表现出紧性。反之，若我们考虑不完备的空间，那么在“连接”的过程中就会出现连接处“连不上了”的情形，也就是连接处没有边界，从而破坏了约束（紧性）。这在证明中就体现为，每个有界闭区间都可以化归到它的一个聚点上去处理，如果全空间不完备，恐怕就不能如此操作了。

简言之， 的完备性保证了紧性的“不变性”。反过来也成立，可以想一想如何用有限覆盖定理去证明其他的完备性定理。

讲得直观，缺乏严谨性，词不达意，望有所帮助。

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你的感觉没错，确实容易产生这样的感觉。因为紧致性（简称紧性）的定义本身是与实数连续性没什么关系的（我更愿意称这里的“连续性”为完备性，因为我总感觉连续性是用来描述映射的，完备性更科学一点）。

首先，什么是紧性？就是任意开覆盖都有有限子覆盖。怎么理解呢？实际上，紧性就意味着一种“有限性”。它仿佛条条框框的约束，把一个集合的性质约束得很“有限”，这就是紧。具体来说，就是：紧集必是有界闭集。也即，如果一个集合是紧的，那么首先它不能无界，其次不能开。无界和开有一种共性：没有边界（boundary），也就是没有了“紧”的束缚。反例当然很容易举，随处可查。通过阅读反例你大概可以更理解到我的意思，也可以明白为什么这样定义紧性。

那么，这又与实数的完备性有什么关系呢？实数的完备性指出的是，在实数集中，有界闭集都是紧的，结合上述文字，也即这二者等价。仅以 为例，我们来回想一下这个定理的证明过程，大致是这样的：利用反证法，对一个有界闭区间，将其无限细分，且每次都存在细分的区间都不能被有限开集覆盖（否则矛盾），最终由闭区间套定理得到一个聚点，它的开邻域可以覆盖无限细分的那个区间，矛盾。这里哪用到了完备性呢？闭区间套定理。

怎样直观理解这个证明的想法？实际上我们可以倒过来看。一个孤立点当然是紧的，可以说它的一切都被限制（约束）了。由于实数的完备性，每个孤立点之间没有“空隙”，因此，它们可以共有这种紧性，也就是说，可以把这种紧性“连起来”，从而整体上也表现出紧性。反之，若我们考虑不完备的空间，那么在“连接”的过程中就会出现连接处“连不上了”的情形，也就是连接处没有边界，从而破坏了约束（紧性）。这在证明中就体现为，每个有界闭区间都可以化归到它的一个聚点上去处理，如果全空间不完备，恐怕就不能如此操作了。

简言之， 的完备性保证了紧性的“不变性”。反过来也成立，可以想一想如何用有限覆盖定理去证明其他的完备性定理。

讲得直观，缺乏严谨性，词不达意，望有所帮助。

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你的感觉没错，确实容易产生这样的感觉。因为紧致性（简称紧性）的定义本身是与实数连续性没什么关系的（我更愿意称这里的“连续性”为完备性，因为我总感觉连续性是用来描述映射的，完备性更科学一点）。

首先，什么是紧性？就是任意开覆盖都有有限子覆盖。怎么理解呢？实际上，紧性就意味着一种“有限性”。它仿佛条条框框的约束，把一个集合的性质约束得很“有限”，这就是紧。具体来说，就是：紧集必是有界闭集。也即，如果一个集合是紧的，那么首先它不能无界，其次不能开。无界和开有一种共性：没有边界（boundary），也就是没有了“紧”的束缚。反例当然很容易举，随处可查。通过阅读反例你大概可以更理解到我的意思，也可以明白为什么这样定义紧性。

那么，这又与实数的完备性有什么关系呢？实数的完备性指出的是，在实数集中，有界闭集都是紧的，结合上述文字，也即这二者等价。仅以 为例，我们来回想一下这个定理的证明过程，大致是这样的：利用反证法，对一个有界闭区间，将其无限细分，且每次都存在细分的区间都不能被有限开集覆盖（否则矛盾），最终由闭区间套定理得到一个聚点，它的开邻域可以覆盖无限细分的那个区间，矛盾。这里哪用到了完备性呢？闭区间套定理。

怎样直观理解这个证明的想法？实际上我们可以倒过来看。一个孤立点当然是紧的，可以说它的一切都被限制（约束）了。由于实数的完备性，每个孤立点之间没有“空隙”，因此，它们可以共有这种紧性，也就是说，可以把这种紧性“连起来”，从而整体上也表现出紧性。反之，若我们考虑不完备的空间，那么在“连接”的过程中就会出现连接处“连不上了”的情形，也就是连接处没有边界，从而破坏了约束（紧性）。这在证明中就体现为，每个有界闭区间都可以化归到它的一个聚点上去处理，如果全空间不完备，恐怕就不能如此操作了。

简言之， 的完备性保证了紧性的“不变性”。反过来也成立，可以想一想如何用有限覆盖定理去证明其他的完备性定理。

讲得直观，缺乏严谨性，词不达意，望有所帮助。

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