题目没有说清楚 在哪解析。
如果只是在某一个开集上,那 肯定是存在的,例如 ,稍加计算就有 ,即在圆周 上取实值。
但我们感兴趣的是 在整个 上解析的情况。此时这样的 的确是不存在的。由于题主的表述不清晰,这里重新表述一下题主的命题:
给定 ,则不存在 上的解析函数 ,使得 在圆周 上取实数,并且在某个点 上不取实数。
借用以前答题用过的图片(记号稍稍不同,下图用 表示 ,用 表示圆的半径 )
上图 是 的实部。那么同理设 是 的虚部,就有 ,类似的论证就有当 时 ,但在给定的圆 上由于函数取实值所以虚部 ,所以右边的积分是 。因此对任何 都有 ,这意味着 只能是(实)常数,与题设矛盾。
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