百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



是否存在一个非实值解析函数f(z)在一个给定的圆周线|z|=c上,使得f(z)为实数? 第1页

  

user avatar   zhai-sen-8 网友的相关建议: 
      

题目没有说清楚 在哪解析。

如果只是在某一个开集上,那 肯定是存在的,例如 ,稍加计算就有 ,即在圆周 上取实值。

但我们感兴趣的是 在整个 上解析的情况。此时这样的 的确是不存在的。由于题主的表述不清晰,这里重新表述一下题主的命题:

给定 ,则不存在 上的解析函数 ,使得 在圆周 上取实数,并且在某个点 上不取实数。

借用以前答题用过的图片(记号稍稍不同,下图用 表示 ,用 表示圆的半径 )

上图 是 的实部。那么同理设 是 的虚部,就有 ,类似的论证就有当 时 ,但在给定的圆 上由于函数取实值所以虚部 ,所以右边的积分是 。因此对任何 都有 ,这意味着 只能是(实)常数,与题设矛盾。

【附】今天看到一个回答非常出色,推荐↓




  

相关话题

  如何证明如下积分等式? 
  连续的周期函数都有最小正周期吗? 
  如何证明以下等式? 
  什么情况下比值判别法失效? 
  全体自然数的发散级数和等于负十二分之一代表了什么?隐藏了一个天大的秘密吗? 
  证明如果幂级数在收敛圆上一点收敛,那么从圆内沿任意不与圆周相切的方向逼近时有极限? 
  各位积佬们这个积分有什么好的思路吗? 
  请问这个积分题应该怎么做? 
  在有界闭区域上连续的多元函数一定有最大值和最小值是否正确? 
  请问这个奇怪的极限怎么求? 

前一个讨论
范畴论中一个范畴里两个对象之间的态射的全体为什么要是一个集合?
下一个讨论
如何证明紧致的度量空间都是第二可数空间?





© 2025-04-25 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-25 - tinynew.org. 保留所有权利