是否存在一个非实值解析函数f(z)在一个给定的圆周线|z|=c上，使得f(z)为实数? 第1页
1
zhai-sen-8 网友的相关建议:
题目没有说清楚 在哪解析。
如果只是在某一个开集上，那 肯定是存在的，例如 ，稍加计算就有 ，即在圆周 上取实值。
但我们感兴趣的是 在整个 上解析的情况。此时这样的 的确是不存在的。由于题主的表述不清晰，这里重新表述一下题主的命题：
给定 ，则不存在 上的解析函数 ，使得 在圆周 上取实数，并且在某个点 上不取实数。
借用以前答题用过的图片（记号稍稍不同，下图用 表示 ，用 表示圆的半径 ）
上图 是 的实部。那么同理设 是 的虚部，就有 ，类似的论证就有当 时 ，但在给定的圆 上由于函数取实值所以虚部 ，所以右边的积分是 。因此对任何 都有 ，这意味着 只能是（实）常数，与题设矛盾。
【附】今天看到一个回答非常出色，推荐↓
1
相关话题
想问一下这种椭圆柱面在第一卦限的体积怎么算?数学的泛函分析应该怎么学？
下面这个极限的值是多少？如何计算？
Cauchy定理的证明是否依赖于Jordan曲线定理？
如何判断一个人适不适合学数学？
在三维空间单位球上放置n个完全一样的点电荷，怎样放置电势能最低？
如何证明该级数收敛?
泛函分析一道习题，咋做呢?
如何比较这两个数的大小?
是否存在实数a>1使得数列sin(a^n)收敛？
下一个讨论
如何证明紧致的度量空间都是第二可数空间？
相关的话题
｛mr+n！ | m∈Z，n∈N｝是否在R上稠密？所有函数都能被表示成一个增函数和一个减函数的和吗？
能不能让两个与 π 无关的两个数之和等于 π？
是否存在不可数个实数，其中任意有限多个在有理数上线性无关？
常微分方程解对初值的连续依赖性，书上都是定理证明，能否举个最简的方程来说明下，它的解是怎么依赖初值的？
这个式子对吗？若是，具体步骤是什么？
为什么被积函数大于零，积分结果就大于零？
这个9题不等式右边怎么证明呢？
这道数列极限题该怎么做啊？
是否存在一个「无法判定为有理数或无理数」的实数？
如何求解下面的极限函数？
这个多元积分不等式怎么证？
这道题应该怎么处理？
能不能让两个与 π 无关的两个数之和等于 π？
高考完的暑假如何自学大学数学?
请问这个极限怎么做呢？
如何简单明了证明负负得正？
反正切函数arctanx平方后的无穷级数怎么证明?
怎么算这两题的敛散性？遇到这种题，步骤是什么。谢谢(*°∀°)=3?
什么时候积分运算和级数求和可以调换顺序？
有哪些不易察觉的错误证明？
为什么不能简单将集合E的【上确界】定义成由E的所有上界组成之集的最小元？
如何用级数证明三角函数的和差角公式？
无穷等于无穷吗？
如何判断下面这个级数的敛散性？
下面这个极限的值是多少？如何计算？
整数和偶数真的是「一样多」的吗？（我知道康托尔那套，但这个表述真的正确吗？）？
下面这个数列极限如何求出来呢？
两个有理数之间一定存在一个无理数吗？
这个极限题怎么做呢，希望大佬指教。?