下面的结论是否正确？ 第1页

先给结论，可数个可以，有限个一般地不可以。

至多可数个的情形是容易证明但是证起来比较繁琐的，下面给出一个更强命题的证明，同时明确一下什么是“序列的并”：

定理1：

给定趋于正无穷的数列 ，那么存在 的一些子列 ， , 为指标集。

满足：

（1） 中元素个数是可数的。

（2）每个子列 严格单增。

（3） (这里的“属于”表示下标出现在了子列的下标中，而不仅仅是指值出现在了子列中)，此时称 是 的并。

证明：

由定义容易得到：

引理1：趋于正无穷的数列的任意子列仍趋于正无穷。

引理2：以趋于正无穷的数列的任意项为首项，可以构造一个严格单增的子列。

由引理2，先构造首项为 的严格单增子列 ,考虑 剔除 中的项后的部分 （注意 不一定为序列），这时分以下情形：

（1） 为空。

这时 自身严格增。

（2） 只含有限项。

不妨设有k项，此时 中的元素有上界M。

由于 趋于正无穷， 在某项后恒大于M，将该项之前的部分记为 ，之后的部分记为 。

显然 中的项都在 和 之后。由于 严格增，依照下标的模k+1等价类把 分为k+1个严格单增数列，将这k+1个数列“接”到 和 后，得到的k+1个严格单增数列满足要求。

（3） 为序列。

由引理1， 也趋于正无穷。于是对 重复上述过程，要么在有限次操作后以（1）（2）的情形结束，这时 被拆分有限个严格单增数列的并。要么一直以（3）的形式重复下去：

由于 不在 中，得到的第二个单增子列的首项下标至少为2，于是原数列的前两项一定含在构造出的前两个单增子列中。然后再重复以上过程。

最终得到一些子列 ，每个子列严格单增，并且 的前k项一定在构造出的前k个子列中，于是 的每一项都在构造出的子列中。由构造过程知，这些子列的数量是可数的。

注1：以上方法构造出的“并”都是“无交并”，从这里也可以看出来构造出的子列数量一定是可数的。

注2：以上是严格单增子列的情形，只要求单增子列的情形证明完全相同。

一般的，一个趋于正无穷的序列不一定能被拆成有限个单增子列的并，为证明这个结论先引入以下概念：

定义（我自己编的）：

序列 的一个有序子集A称为一个“n元单调子集”，如果A中含有n个元素，这些元素按照它们在 中的顺序是单调的。（同理单增单减等，含有无穷多个元素时即为单调子列）

注：将序列视为函数： ，上面的所谓“单调子集”就是 在 的子集上的限制，要求是单调的。

引理：

若序列 含有一个“n元严格单减子集”A，那么 无法被表示成小于n个单增子列的并。

证明：

显然每个单增子列最多含有A中的一项，于是任给小于n个单增子列，A中至少有一项不属于这些子列中的任何一个。

通过上述引理，我们可以构造出序列 趋于正无穷，但是不能被表示成有限个单增子列的并，基本思路是去构造一个所含的“单减子集”元素个数无上界的序列。下面给出一例：

容易验证 趋于正无穷，且对于任意正整数N， 存在元素个数大于N的“严格单减子集”。

注：需要注意的是，趋于正无穷的序列是不存在单减子列的，更不存在严格单减子列，但是“严格单减子集”的元素个数可以无上界。

至此题主的问题解答完毕，但是很自然的问题是：

（1）设一个趋于正无穷的序列 ，其所有“严格单减子集”的元素个数有上界m，那么 是否能被表示成有限个单增子列的并？（已经证明了没有上界则不能）

（2）在（1）的条件下，若m为上确界（整数中确界原理是成立的），那么 是否能被表示成m个单增子列的并？（我们已经证明了不能被表示成小于m个单增子列的并）

“可数”应该是能保证的，设数列 ，第 个子列记为

让 满足 每个 总能找到某个 使得 取 这样就能构造出递增子列了.

这样数列列 是可数的，且首项为 ，那么这可列个数列并起来就一定能构成

当然结论也可以加强为找到可数个不相交的单调递增子列的并集，只需要让 的各项不要在 中出现过即可.

我觉得“至多可数”也可以加强为“有限”，需要增加一些条件，暂时想不出来.

而不能找到有限个递增子列的一个例子为：