如何证明这个实分析有关问题？ 第1页

没正经学过实变函数，我是这么想的： ，每个可测集 都可被有限个无交区间的并 逼近，当 很大时定义 里的每个区间上的函数值 ，且对称差 的测度将会被控制。不过这样有个问题，就是当 时 与 的交集（仍为区间）上 的函数值被重复定义了（ 与 ），但是这个交集的测度也是能被控制的，因为 与 本身就是无交的，那么 与 的交集的测度也不会有多少。

下面是严格回答，符号参照baby rudin的第11章

设 ，其中 （勒贝格可测集）。又 ，故 （有限勒贝格可测集），因此可以找一列 使 ，其中 是有限个区间的无交并。并且当 时， 。对于任何 ，选取充分大的 就可使当 时有 及 。再取 就可使在 且 。让 里的每个区间上让函数 的值等于 。这样有个问题，就是当 时 的某个区间可能会与 的某个区间相交（交集仍是区间），造成定义不well-defined，不过不要紧，它们上面随便定义函数值，反正其测度被控制住了。注意到使 的点只能在 里，或在 中，而它们的测度

泻药。

Definition of step function:

In mathematics, afunctionon thereal numbersis called astep function(orstaircase function) if it can be written as afinitelinear combinationofindicator functionsofintervals. ----Wikipedia

Simple function：把上面的intervals改成measurable sets即可。于是我们用区间 逼近可测集就可以了。这里需要Stein real analysis 第二章的Theorem 3.4:

(iv)If is finite, then there exists a finite union of closed cubes such that .

接下来应该可以做了？

您好！可以参考以下证明：

（《实分析》Stein）