现在希尔伯特的23个问题都研究得怎么样了？ 第1页

证明论：

第二题，算术公理之相容性：否定

除去一些弱得难以运用和强到不切实际的算术系统之外，不可能从系统内部推导出自身一致。

著名的哥德尔第一不完备定理和第二不完备定理带来了第三次数学危机之后的对元数学研究的最重大挫折。这意味着我们失去了肯定一个数学理论是完美的“金标准”，对于数学理论的优劣，必须引入人的哲学判断^[1]。但很少有人继续往下提到学界应对不完备定理开发出了什么应对措施。

日常生活中的一个常识是，非常大多数的你想要表达的意思在翻译成不同的语言之后并不会发生改变。而学界也研究出了类似的工具：理论翻译函数。

我们日常所说的“这个数学理论有悖论”“你又在写bug”“这个编译器有bug”，其实质可以简单的归纳为，从公理集和命题前提出发，构造出一个见证0=1的证明串。而如果我们能构造性地得到一个理论翻译函数，那么我们就可以在两个理论之间将关于0=1的证明串互相翻译过去。

从相对一致方法^[2]中得到的成果有：

• 接纳存在 n - 武丁基数是安全的。这同时也见证塔斯基-格罗滕迪克集合论TG是安全的。TG是策梅洛-弗兰克尔集合论ZF的非保守扩张。
• 接纳连续统假设CH/广义连续统假设GCH成立或不成立都是安全的。
• 接纳决定性公理AD成立或不成立是安全的。这同时也见证接纳选择公理AC成立或不成立也是安全的。
• 接纳非良基集合AFA存在或者拒绝（V=WF）是安全的。
• 接纳戴德金无穷公理Inf，或者接纳在标准有穷集与戴德金无穷中间的无穷定义，都是和原教旨有穷主义 Inf安全的。

以上这些成果非常有效地驳斥了部分有穷主义分子提出的诘难。

更进一步地，从力迫法出发，如果接纳 - 猜想成立，那么 - 可判定性也足以构成不完备定理限制下的最大允许程度地逼近的公理系统一致，并且见证除了内模型法和力迫法之外没有其他的方法改变公理系统其内有意义的问题的真值。

如果退一步，不追求绝对自动成立的可判定性和一致性的话，使用形式化验证Formal Verification便可在充分多的人工输入的前提之下自动验证，如果无视巨大的人力资源投入的话，使用这个方法足以构造人类所有的数学和绝大多数应用场景的硬件设计，软件工程的无误性证明。

第一题，连续统假设

对于比较纯血的柏拉图主义者来说此问题尚未解决，因为终极数学宇宙V“显然”地（当然是有许多正面证据暗示）已经赋予了连续统一个唯一真值，而人类当下的模型只是尚未足够地接近V去取得这一真值。但比较尴尬的事实是，力迫法和大基数的力量并不足以提供这种能够取出连续统真值的逼近力^[3]，这和大基数被主流数学接受的成功路线可谓是完全背离。

而如果是比较偏向形式主义的哲学派系来说，此问题已经以一种类似于多宇宙的方式得以解决：任何不引发矛盾的连续统的值都是产生一个全新数学理论宇宙的划分常数。

现在你说连续统是任何值都可以^[4]，因为你认为它是什么值都是一个全新的合法理论啦，咕咕咕。

目前从柏拉图主义的进路解决此问题的尝试是内模型计划，处于活跃状态。

第十题，不定方程可解性：否定

此题科普已有人做过，具体可以看：

其实本题也和第二题有非常深刻的联系。这里顺便值得一提的是，如同 @Xyan Xcllet 所述，理论上可以有某种关于自然数的非标模型可以直接解算不定方程通解，甚至还可以有某种非标算术解算任意积分是否收敛——因为它们总能化为某种无穷序列零点问题的解。

至于如何得到这种模型就是另外一个故事了。

数论：

第十三问题：以二元函数解任意七次方程：否定？

在我初中毕业之前曾经有一段时间沉迷于研究如何用几何画板模拟超几何函数以实现在几何画板上展现五次曲线的性质（好孩子请千万不要学习！），如果超越函数的变量足够少那么很明显事情就会变得简便起来。然而对于复变所需的多值函数而言，问题尚未被解决——虽然对于我所需的五次方程来说问题已经解决了。

第八问题：黎曼猜想，哥德巴赫猜想与孪生素数猜想：未解决

目前的进度

孪生质数猜想：

• 通过张益唐(2013)完成的路径，Pace Nielsen(2014)已证明无穷多个素数对相差都小于246.

哥德巴赫猜想：

• 山田智宏(2015)成功明确了陈景润(1966)的定理：每一个大于 的偶数是一个素数及一个不超过两个素数乘积之和。
• 通过Ivan Vinogradov(1937)完成的路径，Harald Helfgott(2013)彻底证明了奇数Goldbach猜想。
• 华罗庚(1938)证明了奇数Goldbach猜想的一个推广：任意给定一个整数k，每个充分大的奇数N都可以表示 的形式。当k=1的时候，就是奇数Goldbach猜想。

黎曼猜想：

• 通过Conrey(1989)完成的路径，冯绍继(2012)已证明至少41.28%的零点满足Riemann猜想。
• Weil(1948)证明了有限域上代数簇的Riemann猜想。
• Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen, Don Zagier(2019)证明了具有相同度数d的每一组Jensen多项式， 除有限多个外， 其余全都满足Riemann猜想的要求；不仅如此， 对于度数 d≤8 的Jensen多项式， 该论文宣称证明了它们的零点全都是实数。Riemann猜想等价于全体Jensen多项式的零点全是实数。
• de Branges(2004)宣称自己证明了Riemann猜想，(2009)年宣称自己证明了广义Riemann猜想，(2016)宣称自己证明了Hecke L-函数上的Riemann猜想。如同望月新一的ABC猜想的证明，这些证明未受到数学家的普遍共识承认和否决。

相互之间的关联

红色框是希尔伯特第八问题和千禧年问题，绿色框为已证明的定理，黑空心箭头表示猜想间的蕴含关系，红色箭头表现引入某种假设的前提下能推导出的结论。

• 孪生素数猜想是Polignac猜想的特例，Polignac猜想是Dickson猜想的特例，而Dickson猜想又是Schinzel H猜想的特例，最终可以扩展为Schinzel 猜想以统御这一系列的多重生素数猜想和哥德巴赫猜想。

• 广义Riemann猜想将Riemann猜想的Riemann ζ 函数推广为Dirichlet L-函数，扩展Riemann猜想推广为Dedekind ζ函数，而最终的大Riemann猜想推广为自守 L-函数，进入郎兰兹纲领的层次。
• Montgomery-Odlyzko定律表明Riemann ζ函数的非平凡零点分布与随机厄密矩阵的本征值分布相同。Bohigas–Giannoni–Schmit猜想随机厄密矩阵所描述的量子体系在经典极限下对应于经典混沌体系。 最终我们可以得到关于Riemann猜想的数学物理化猜想：Hilbert-Pólya猜想Riemann ζ函数的非平凡零点与某个厄密算符的本征值相对应。
• Weil猜想(已被证明)包括一个限制在有限域上代数簇的Riemann猜想。而Weil猜想融合标准猜想和模定理后再扩张可得到Hasse–Weil猜想，Riemann猜想是其特例。
• 广义Riemann猜想一些知名的运用包括证明奇数Goldbach猜想(虽然已被无条件证明)，以及意味着Miller-Rabin, Shanks-Tonelli, Ivanyos–Karpinski–Saxena这些算法可在多项式时间内运行，等等。

一些笑谈

• Michael Atiyah在临终前公布的Riemann猜想便是从上文所述的数学物理化路径进行的，最终让他成为笑柄。
• 传说John Nash和Grothendieck都是被Riemann猜想逼疯的。
• 传说如果有人证明了 Riemann 猜想， 他就会不朽——不仅是抽象意义上的不朽 (那是毫无疑问的)， 而且是实际意义上的不朽 (即长生不老)，谁要是否证了 Riemann 猜想， 他就会立刻死去。

本段参考材料

参考

1. ^ 但也有不少人觉得这体现了人智的优越性，所以其实是一件好事：避免了做数学研究就等于变成一台带有高阶模式匹配的复读机的命运，而真正意义的，可以“创作”一些东西。
2. ^这里面包括了内模型法和力迫法。详细区别请看 https://www.zhihu.com/question/66087196/answer/403142684
3. ^ 也就是所谓的“连续统的证明论强度在所有已知的大基数之上”
4. ^其实并不是完全没有限制，具体限制请阅读 https://zhuanlan.zhihu.com/p/61649266