如何求解这个初等数论问题？ 第1页

不需要什么高深的技巧。如果n包含至少两个不同的质因数，设为p, q，则n/p、n/q都在非平凡因子列表里，它们都是m的因子，所以m是他们的倍数，而这两个数的最小公倍数是n，所以m是n的倍数。但n本身不在黑板上，所以m只能为n。

若n只含有一个质因子，也就是某个质数p的k次方，则m是p^(k-1) 的倍数，同时m也不含有其它质因子，而且m也不等于p^(k-1) ，因此也有m是p^k的倍数，同上可得m=n。

注意到所有小于或等于n/2的数都出现在了黑板上，最大的一个不小于(n-1) /2，当它至少为3的时候（也就是n>=7时），则存在一个不小于(n-3) /2的数，它在黑板上，而且不是3的倍数。同时n>=7时，3一定在黑板上，这两个数互质，所以m也就是n一定是它们乘积的倍数，于是有n>=(n-3) /2 * 3，解不等式得到n<=9。超过9的n一定不符合条件。

9以内的合数只有4, 6, 8, 9，依次检验可以发现只有4和6符合条件。所以解就是4和6。

备注：实际上，所有出现在黑板上的数恰好就是2到n/2之间所有的整数，这其实是很显然的，因为它们的2倍都是[1, n]中的合数，而大于n/2的整数的最小倍数也超过了n，所以黑板上的数实际上就是不超过n的一半的1以外的正整数。

假设你写出了 合题

考虑 及

他们的因子 及 被写出

于是

于是 有非平凡因子

但是我们要求 在一开始被写出，于是要求

而 ，这说明 时不存在合题的

继续随便估计一下：

若

被写出。于是 ，但 是 的非平凡因子，显然矛盾。

之后尝试。发现 时，取 合题，以及 时取 合题。