如何证明对于任意的正整数n，若p整除n^2+n+1，则p模3一定不余2？ 第1页
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这个题意思就是说， 没有 型因子。我们只需证明 没有 型素因子（为什么？利用模3以及唯一分解，设法想清楚：有 型因子蕴含有 型素因子）。
倘若 有一个 型素因子 ，则 。首先这个 不能是 （分析 的奇偶性），故 是奇素数，故 与 在 中可逆。注意到 中的恒等式 ，于是 在 中有平方根 。由 是 型奇素数知 ，故 .我们考察Legrendre符号 ，希望证明它是 来推出矛盾。由欧拉定理可以将 写成 的形式（ 是正整数），而 ，故原Legrendre符号化简成 的形式。由于 是 型奇素数，它要么是 型的，要么是 型的。对于前者， 利用二次互反律可算得 ，后者类似就不算了。因此Legrendre符号无论如何都是 ，矛盾。
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