「只要整数的各个位数之和是 3 的倍数，那么这个整数就一定是 3 的倍数」是如何证明的？ 第1页

很有年代感的一个问题

如果我没记错的话，这个定理最早出现于小学课本，不过当时老师只是让我们背下来，而不去考虑它背后的证明。

其实现在回过头看看，原理也很简单，为了更好的叙述，下面我们引入一个记号：

给定一个正整数 ，如果两个整数 和 满足 能够被 整除，即 得到一个整数，那么就称整数 与 对摸 同余，记作： 。

我们要证的是：

只要整数的各个位数之和是3的倍数，那么这个整数就一定是3的倍数。

应该注意到一个浅显的事实，对任何一个正整数 ，都可以写成 的形式，其中 都是正整数，而且是整数 的的各个位数。

例如 ， 。

不妨设：

将原命题用数学语言修改一下，即为：

还是补充说明一下吧，“ ”也是一个记号，表达的意思是，若 为整数，则记为 ，读作：“a整除b”。例如： （2整除4）， （3整除6）。

因为余数为零时必定可以整除，所以更一般的，可以将原命题转化为：

不妨先举几个简单例子，例如

因为

因为 是 的倍数，所以， 也一定是 的倍数，故 一定是一个整数

毕竟

故：

同理：

而 也都是 的倍数，故 也一定是 的倍数。

故：

按照上面的思路，对任意的正整数 。

不妨设：

故：

因为

都是 的倍数，故

也一定是 的倍数，

所以按照上面的思路： 。

不过这个性质我想应该只在十进制中成立，其他进制可以思考一下，留作课后作业。

还有，按照本回答的这种思路，可以证明，把 换成 ，结论依然成立，即：

只要整数的各个位数之和是9的倍数，那么这个整数就一定是9的倍数 。