2022 这个数字在数学意义上有什么特别的，为什么？ 第1页

要回答这种开放式问题，就需要模仿传说^[1]中拉马努金做数学问题的方式：睡觉的时候，集中注意在眼前的血管——你闭眼看到的不停运动的小点就是红细胞和白细胞^[2]——它逐渐组成了一个红色的屏幕^[3]。突然，屏幕上出现了印度女神 நாமகிரித்தாயார் 的手，她写下了几个数学算式！

你意识到后天就是2022年第一天了，于是你问她，2022这个数字有什么特别的？她写道：

由数字0、1、2组成的 3 × 3 矩阵中，行列式等于 ±1 的正好有2022个！

这么简单好记？这怎么可能，你想。嗯，咱们只是普通人，不是拉马努金，梦见有错的结果正常。稍微算一下， 有 11232 个矩阵，不过她写的不是 ，在整数中应该比这个少很多……

早上起来，你迅速编程序确定这结果是对的！

这女神还是有点厉害的，你想。咱们要不再重复几次，如果成功，为了加快数学的发展，咱们应该组织数学圈子里的人都向这个女神祈祷祈祷，万一哪个人就收到了黎曼猜想的证明呢？

2021年最后一天，你继续做梦。当然，对于长期练习清醒梦的你来说，回到女神身边继续工作并不难。而这次，她给你了更有数学意义的东西：

设 A 为 6 进制下不超过 6 位，各位数字之和为偶数的 7 的倍数的数量，B 为 6 进制下不超过 6 位，各位数字之和为奇数的 7 的倍数的数量，那么 A － B ＝ 2022。

不要着急写程序。红色的屏幕上出现了如下公式。

新年贺岁题1

设 为 进制下不超过 位，各位数字之和是偶数的 的倍数的数量， 为 进制下不超过 位，各位数字之和是奇数的 的倍数的数量，证明：

这东西为什么是整数？你想。

下面她带你来到了三维空间。这是梦境做题的一大好处，没有二维草稿纸的限制，可以直接在三维或更高维的空间写东西。你看到一个 网格的圆环 。

这不难描述，你想。 就是一个顶点集是 ，边集是 的图。

设 为给 染恰好 种颜色，相邻顶点颜色不同的方法数，其中如果两种染色方式可以在环面上平移得到，那么认为它们相同。那么， 。

下面，她写出了 的一般表达式！

新年贺岁题2

请写出并证明 的一般表达式。

很遗憾我们不是拉马努金，我们做数学是必须要证明的，不能拿买不起纸作借口不写证明，让 Bruce C. Berndt、George E. Andrews 等人花三十年帮忙把女神给的几千个结论一一证明。

上面两个贺岁题不是钓鱼题，是高中竞赛知识就可做的。下面这题更难一点，但也是可做的。

新年贺岁题3

2022有如下性质：它的所有素因子的各位数字之和，是它的各位数字之和的3倍。证明：这种数有无穷多个。

参考

1. ^ Michael Katz, Tibetan Dream Yoga, Bodhi Tree Publications (2011)
2. ^ entoptic phenomenon
3. ^ closed-eye hallucination