为什么计算圆的周长与面积、球的表面积与体积，使用的都是 π，而不是三个不同的数？是偶然还是必然？ 第1页

必须是同一个，用微积分推导公式我们看一下π的传递性，没有用定积分曲面积分二重积分来算，因为推导麻烦一点，所以下面的计算可能数学上并不严谨。

从周长＝2πR开始，

认为圆的面积是宽度无限小的圆环面积的累加:

认为球的表面积是球心角无限小的球带表面积的累加:

认为球体体积是无限薄的薄球壳体积累加:

可以看出这个π是传递的，求圆的面积和球的表面积都是用了圆的周长公式，求球的体积用了球的表面积公式，所以这三个公式里面的π始终是与圆周长的2πR是同一个π。

从头给你捋一遍吧？

首先，人类发现，任意一个圆的周长与直径之比都是一个定值，所以我们记这个值为： 。

至于为什么是定值，可以看这个回答：

注意啊，这是 的定义，也就是说圆的周长肯定和 有关系！

下面，我们计算圆的面积：

这张图想必都看过，我就不细说了，设圆的面积为 ，周长为 ，半径为 ，则直接就有：

至于用微积分的方法：

关于球的体积 ：

可以认为球是半圆绕直径旋转一周得到的，求一下积分即可：

半圆的方程为：

故球的体积为：

还有就是球的面积是 ，证明思路一样，不细说了。

最后， 维球的体积和面积也都和 有关，不过我还不会，哈哈，感兴趣的话可以在知乎上搜一下。