当数学家刚想出微积分用细矩形面积的和逼近时，矩形的高选取多少呢？为何不怕无限多个小误差之和为大误差？ 第1页

因为他就不是用一组矩形去逼近，而是两组。

其中一组求出上和，另一组求出下和，于是我们得到——

下和≤曲线的实际面积≤上和

当上和与下和的极限值一样时，我们就得到了正确的面积。

更详细的分析，参见《普林斯顿微积分读本》第15、16章。

题主提到了矩形，估计是想问积分的时候的矩形高度取值、以及误差为什么会消失。

先两句话回答题主的问题：

第一问：

问：矩形的高选取多少？

一句话回答：矩形的高度可以在它所在的区间内 的最大值和最小值之间任意选择，因为随着区间划分越来越细，最终误差总是会消掉。

于是第二个问题就来了：我们怎么知道误差一定会消掉？

第二问：

为什么不怕无限多个误差之和为大误差？

一句话回答：简单地说，这正是因为积分可以看作求面积，所以用“细矩形”进行逼近时，产生的误差也就是面积的误差，由于面积包含了平方运算，因此这个误差对应的是区间长度的二阶无穷小，对每个二阶无穷小进行一阶的无穷多次求和后，得到的仍然是一阶无穷小，再取极限就归为零了。

接下来具体说说一句话扯不清楚的细节。

为安全起见，我们只考虑正常积分，即积分区间为有限区间，且区间内没有奇怪的发散点，并且满足黎曼可积条件(根据巨佬RD的回答补充此条…… )。

假设积分区间长度为 ，将这个区间分为 等分，则每个小区间的宽度为：

对于第 个小区间、即 上的矩形，我们先假设其高度为 ，如下图：

可以看出，图中红色阴影部分面积面积 就是小区间上的真实积分值与矩形面积之间的误差。我们还可以看出，这个误差是小于图中紫色边框的小矩形面积的。

另外，不难想象，只要矩形高度在 和 之间取值，那么表示误差的面积 总是小于紫色边框的那个小矩形。

而紫色小矩形的面积为 (也就是 )

于是第 个小区间上的误差为：

其中 为紫色矩形对角线的斜率

(上面图中画的是函数在小区间内单调递增的情形，但即使函数在小区间内不是单调的，上述关系也成立，题主可以自己画图看一看 )

于是整个积分区间上的总误差为：

我们假设所有的斜率 中最大的为 ，则：

于是：

对于积分区间有限、且没有发散点的正常积分， 都是有限值，那么随着 ， 自然就趋于0了

所以最后误差一定会被消掉。