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正三棱锥内切球的四个切点(两类)分别在三角形的什么位置? 第1页

  

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设正三棱锥 的高 ,底面边长 , 为球心的内切球关于 的切点为 。各种辅助线如图。

容易计算 , , , , ;

由相似 , 于是有

得到了 三边,建立坐标系的时候就很好确定切点 的位置了。

最后我们看看 与 的关系。

由几何关系可知 位于 的角平分线上。于是

,

由半角公式

于是得到


最后给一个正四面体切点位置的证明。

引理(切线长定理) 球外一点做两条切线,切线长总相等。

这个引理有一个非常自然的推论:

推论 若球外两点到球心的距离相等,则过两点关于球面的切线长相等。

有了这个结论,证明就是很显然的事情。

命题 正四面体内切球的切点是四面体各个面上的重心。

:对于正四面体 ,设内切球关于 的切点为 ,由于 同时为 的三个顶点关于内切球的切线长端点,并且这三个顶点到内切球心的距离相等,于是由引理推论,此三者到 的距离相等,即 ,故 是 的外心,但是 同时也是等边三角形,于是外心与重心重合。




  

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