这是一个很典型的不动点问题:设
则原方程可表为
并且 很好地满足不动点定理的条件:
于是只要不停地迭代就可得到结论:
选取初值 ,迭代 次后误差不超过 (见上图).
由于 ,所以
原超越方程 可以改写成
将上式两边分别在 附近做Taylor展开,得
将 改写为
即
或者
可以构造迭代式
和初值 。迭代如下:
注:上面Taylor展开式保留项数越多,构造的迭代式收敛越快,但迭代式写法也越不优雅。
为了避免计算三角函数或反三角函数,可以采用级数来代替
因此,可以构造迭代式
和初值 。其中级数可以根据精度要求进行截断。
为了避免计算开根号,可以将原式改写成
或者
可以构造迭代式
和初值 。其中级数可以根据精度要求进行截断。