数学上“和”也分很多种:
- 有限数列的和。这个不用解释,就是一些数加起来,满足交换律和结合律。
- 柯西和。这种求和方式就是一般的收敛的无限数列求和。
- 切萨罗和。定义是 ,即数列的前n项的部分和的平均数的极限。可以证明,在数列收敛的时候,切萨罗和等于黎曼和。
- 广义切萨罗和。 ,其中 表示广义切萨罗和的阶数,当 等于0时等价于柯西和,当 等于1时等价于一般的切萨罗和。
- 阿贝尔和。 。很神奇的一点是,如果一个数列的切萨罗和存在,那么这个数列的阿贝尔和等于这个数列的任意阶的切萨罗和。
- 拉马努金求和。贴一下 wiki 的链接:Ramanujan summation。为什么不贴公式?因为我实在是看不懂了。拉马努金求和是基于函数的解析延拓的,这就要求被求和的数列不仅有整数项的值,还要在推广定义使其有非整数项的值。
现在来看一看“所有自然数之和是负十二分之一”里的“和”是哪个和。
算一算就能知道,这个数列在柯西和、切萨罗和、广义切萨罗和与阿贝尔和下都是不能求和的,那么选择只剩下一个:拉马努金求和。
但是要注意,拉马努金求和虽然能算出结果为 ,但是这并不仅仅是对全体自然熟的求和,而是对于函数 的解析延拓在值域为自然数时的所有值的和。这种哦你定义方式肯定没有矛盾,但是也失去了与有限数列求和对应的意义。