如何看待谭泽睿的《在平移素数数列中的无平方因子数》？ 第1页

emm问题描述里看不到论文。但听其他答主描述如果谭用了筛法的话，感觉笔者接下来给出的证明或许会比他的做法简单很多。。。

本文接下来的思路均由笔者独立构思完成，如有雷同纯属巧合。

初等处理

我们将不加证明地使用这个来自初等数论的结论：

为了方便表示，我们设N为正整数、用s(x,N)表示x以内满足p+N无平方因子的个数。则有：

接下来经过传统的交换求和次序，可将(1)变成(2)：

由于 ，所以当 时我们可以对蓝色部分做替换，得：

至此，我们就可以把注意力转移到等差数列上的素数分布问题了。

等差数列上的素数分布

接下来我们将使用两个有关素数分布的结论来估计(3)。

平凡上界：

Siegel-Walfisz定理^[1]：当(a,q)=1时总有 ，其中O的隐含常数只与A>0有关。其中 。

为了尽可能地发挥着两个定理的作用，我们希望将(3)的求和用某个数 分开。其中对于d>Q的时候，通过平凡上界可知：

当d≤Q的时候我们需要分类讨论。由于(a,q)>1时模q余a的素数最多只有一个，所以有：

现在套用Siegel-Walfisz定理，便得：

红色求和的估计

利用积性函数的性质，可知：

利用积分放缩，得 。把这些结果代入(6)，便有：

现在设置 其中B<A。则我们可以把(8)与(5)结合，得到最终结论：

定理：对于一切H>0，若s(x,N)表示满足p≤x且p+N无平方因子的素数p之个数，则有：

参考

1. ^读懂黎曼猜想（11【完结篇】）——等差数列素数定理的余项（Siegel-Walfisz定理） - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/412127981