矩阵特征值与矩阵本身的关系是什么？ 第1页

从数量矩阵看特征效应

对于最特殊的数量矩阵

对任意向量 都有，

这似乎是一件显然的事情，不过如果从特征的角度看，这个矩阵有特征方程为

它有 重特征根且为 ，特征向量只要非零就行。

对于更一般的矩阵，我们也可以将之类比为数量矩阵（在相似意义下），只不过是用分块的方式去理解：

我们发现，这个矩阵可以限定在特定的子空间上，例如 ，等效为一个数乘变换

总之，特征思想可以理解为——研究一个矩阵在其（不变）子空间上的数乘效应。

再回过头看，将 的特征值 直接带入特征多项式：

我们会发现，特征化的过程，就是将矩阵 “局部”化为零矩阵。而 的某一特征子空间正是——

对于最一般的矩阵，可能它不能被对角化，这个时候我们至少可以保证在复数域中，其 形式（准对角形式）的存在。分析方法类似上面的讨论，可以视为对角矩阵的推广。

从线性变换看特征多项式

正如前文讨论，研究一个矩阵（线性变换），就是看它在各个子空间（不变子）上搞什么动作。

假如矩阵 可对角化，也就是说它有 个一维不变子（特征向量），即

把限制在每个一维空间上的数乘变换 加起来，就是 对于空间 的整体作用：

那么，

这种形式，给人的感觉就是那种灵魂被一点一点抽离—— ，最终剩下一团真空—— 。反映到特征多项式就是如下形式^[1]：

其中 是 的特征多项式，更是极小多项式；事实上，若极小多项式是不同的一次因式的乘积，当且仅当 可对角化。

接下来的内容就算是半卖半送了（[捂脸]）

Jordan 矩阵

可是，如果极小多项式 有重因式，矩阵 那就不能对角化了。设

我们回到对应的特征空间分解，有

也就是说，光有 还不足以导致“局部零化”，必须进行次幂后

才可以。在矩阵空间中专门有一类矩阵具有这样的性质，那就是大名鼎鼎的幂零矩阵。在相似意义下幂零矩阵都长这样^[2]，我们叫做 块：

显然有 ；设幂零矩阵

抽离掉灵魂 之后，只剩下行尸走肉的幂零矩阵，日渐沉沦、坍缩，最终消失。这就是 在每一个局部的组成成分。

于是

即

或者简记为

于是，对于更一般的矩阵以及极小多项式，我们给出了最一般的形式。

回到原点

类似于特征向量的定义， 块给准特征向量带来的效果是——

其中， 是某组基底。

参考

1. ^ 丘维声《高等代数》（第三版）高等教育出版社，第135页推论8；
2. ^ 同上，第142页命题7