一个数从1开始，每次各有50%的概率乘0.9或者乘1.1，重复足够多的次数以后，情况会如何？ 第1页

这个问题和我之前写过的一篇文章道理是一样的，只是数字不同，所以直接把当时写的文章《 为什么频繁交易的人大多数在股市上都赔钱了？一个有趣的小数学游戏也许可以解答 》贴过来当回答吧~

偶然读到了这篇文章，里面提到的一个简单的小数学游戏相当有意思。

假设有这么一家赌场提供了这么一个你可以玩无穷多次的游戏：扔一个硬币，若正面向上，则你的资产变成当下的 1.2 倍；若反面向上，则你的资产变成当下的 0.83 倍。你会选择玩这个游戏吗？

有两种分析这个游戏的方式。

第一种：不论我玩的时候的本金m是多少，玩下一次的时候，收益的期望总是 m*(1.2-1)*1/2+m*(0.83-1)*1/2。因为赢钱的时候赢 0.2 总是大于赔钱的时候赔 -0.17，所以期望总是正的，那就应该玩，而且要一直玩无限多次。

第二种：若一直玩下去，就会有赢有输，所以应该把 1.2 和 0.83 乘起来看是否大于1。结果是 1.2*0.83=0.996，小于1，因此久赌必输，不能玩。

这两种分析哪一种更有道理呢？大家可以先想想看。

我多年不学数学了，概率论早就忘光了，因此就写了个小代码来模拟一下如果玩这个游戏，会是什么结果。

       import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt   P = 100 # Number of players N = 30000 # Total times played for one player win = 1.2 lose = 0.83 Num_of_winner = 0 Money_of_the_luckiest_winner = 0.0   for j in range(P):     m = np.zeros(N)     m[0] = 10000.0     for i in range(1,N):         if np.random.randint(2):             m[i] = m[i-1]*win         else:             m[i] = m[i-1]*lose       if m[-1]>m[0]:         Num_of_winner += 1     if m[-1]>Money_of_the_luckiest_winner:         Money_of_the_luckiest_winner = m[-1]     plt.plot(m)     print(Num_of_winner) print(Money_of_the_luckiest_winner) plt.xlabel('Times played') plt.ylabel('Money') plt.show()     

在上面这段代码中，我模拟了100个玩家，每人玩30000次这个游戏，看看他们最后的资产有多少。

结果很有意思：其中绝大多数玩家的资产都可算是归零了！

最后print出来的 Num_of_winner 是资产大于本金的人，因为有随机性，所以每次运行结果肯定不同，但大多时候都是100人中有2~3人最终赢钱了而已。

更有意思的是，最后print出来的100人里面最后资产最多的人最后到底有多少资产 Money_of_the_luckiest_winner，经常是8位数9位数的资产（本金是1万）！这绝对是个赢者通吃的游戏

下面贴一下其中一次模拟的图，大家可以看看：

过程中纵坐标最高都到了10^13这个量级了，但最后的时候肯定没这么多。放大一下最后的结果，是这样的：

一个玩家遥遥领先，远远甩开了后面的其他所有玩家。

把最后的那一块继续放大，在排除掉了前4名之后总算纵坐标不需要用科学计数法了 ，剩下的玩家的资产都集中在0那里：

画一张纵坐标是对数坐标的图的话，可以更直观的看到大多数玩家资产向下的趋势（和上面几张不是同一个run）：

总结一下模拟的结果：绝大多数玩家玩到最后都归零了，只有极少数玩家能够赢得超过本金的钱，而赢得最多的那个人的最终资产远远超过其他人很多很多。

其实也不会有赌场提供这个游戏的，因为最一开始的第一种分析方式的确是没错的，玩家期望的确为正，赌场会赔钱。但第二种分析方式仍然有价值：只有1个人基本赢走了所有钱，剩下的人都归零了。

虽然没有赌场提供这个游戏，但是现实生活中，有一个地方跟这个小游戏太像了：股市！股市不是零和博弈，整体而言长期来看股市肯定是往上涨的，因为人类的生产力在提升。你买大盘指数基金buy&hold的话，期望肯定是正的。然而，股市每天都在涨涨跌跌，无数的人在里面频繁交易，最后血本无归。当然也有人最后成了大赢家，然而你能保证你是那个幸运的0.001%吗？

在写完上面这篇文章后，经过和 @zhiqiang 讨论又学到了有意思的东西，详见《用凯利判据玩转前文中的“一个有趣的小数学游戏”》，也一起贴到这里来吧~

若改动一个游戏条件，上面这个游戏就变得更加有趣了：若玩家可以自己选择投注金额呢？玩家应该如何投注才是最佳方案？

直观的想：如果每次都押注100%金额，那其实就回到了一开始那个不能自己选投注金额的游戏，虽然每次玩收益很大，却有非常大的风险最后归零；如果每次都押注太小，那显然回报会很低。最佳的投注比例一定是平衡了这二者的。事实上这个新的游戏的最佳玩法，正是大名鼎鼎的凯利判据 (Kelly Criterion)（阅微堂对凯利判据的讲解也很不错）。凯利判据就是通过最大化资金的log函数的期望而得到的投注比例。证明过程就略过了，基本上就是对这个函数求导就可以。最后得到的凯利判据 (Kelly Criterion)公式为：

K = (pW-qL)/WL

其中p为赢的概率 (0.5)，q=1-p为输的概率 (0.5)，W为赢的情况下的收益 (0.2)，L为输的情况下的损失 (0.17)。在我们这个游戏中，计算得知最佳投注比例 K 约为 0.44。

于是我改动了一下模拟代码，来看看现在用凯利判据投注的话结果如何！

       import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt   P = 100 # Number of players N = 30000 # Total times played for one player win = 1.2 lose = 0.83 Num_of_winner = 0 Money_of_the_luckiest_winner = 0.0   W = abs(win-1) L = abs(lose-1) Kelly_percentage = (0.5*W-0.5*L)/(W*L) print(Kelly_percentage) # is about 0.44 in our case   for j in range(P):     m = np.zeros(N)     m[0] = 10000.0     for i in range(1,N):         if np.random.randint(2):             m[i] = m[i-1]*win*Kelly_percentage + m[i-1]*(1-Kelly_percentage)         else:             m[i] = m[i-1]*lose*Kelly_percentage + m[i-1]*(1-Kelly_percentage)       if m[-1]>m[0]:         Num_of_winner += 1     if m[-1]>Money_of_the_luckiest_winner:         Money_of_the_luckiest_winner = m[-1]     plt.semilogy(m)     print(Num_of_winner) print(Money_of_the_luckiest_winner) plt.xlabel('Times played') plt.ylabel('Money') plt.show()     

这下100个玩家全部最终资产大于初始本金了，最幸运的玩家最终的资产都是10^60+这种量级了… 在对数坐标轴下，所有玩家的资产都几乎直线上涨了。

不知你是否有跟我一开始一样的一个疑惑：如果只是选择一个固定的投注比例，似乎只是让这个游戏每次赢的少了点，输的也少了点而已，为什么仅仅如此选择一个投注比例就可以扭转归零的颓势了呢？其实具体把数字计算一下就明白了：原本赢则变1.2倍，输则变0.83倍的游戏，若固定44%的投注比例，就变成了赢则变1.088倍，输则变0.9252倍。1.088*0.9252是多少呢？1.0066176！大于1了！这就解释的通为啥所有玩家的资产都纷纷上涨了。

凯利判据在真实的股市投资中也挺有用的，本文这个简单的小数学游戏也算是给大家一个直观印象了吧！

首先我们看看经过n轮涨跌之后，题主的股票涨了m次的概率，如果将这个概率记作 。那么由二项分布模型可以发现，概率为：

而此时题主手上的资金 为：

其中， 是指0次涨跌时的资金，亦即初始资金，在这个问题中取为 。

于是题主手上此时的资金数学期望 为：

但是需要注意到的是，题主此时的资金不少于数学期望的概率并不是50%.为了说明这一点，我们不妨来从上面给出的公式来计算一下收益水平与出现概率的关系。

首先，我们得知道在涨跌后获得收益意味着什么。在这个问题中，我们知道获得收益意味着：

将这个不等式展开，我们可以得到：

其中，

.

这意味着只有题主的股票在n次的涨跌之中，上涨的次数超过总次数的52.5%时，才有可能赚钱。不过这里还只求出来了次数的条件，并没有解决赚钱概率的问题。因此还需要考察该事件发生的概率，才能够具体知道题主有多大可能赚到钱。

由前文给出的股票上涨m次的概率可以知道，该事件发生的概率为：

其中 表示不小于 的最小整数。

后续的化简与求极限过程已超出本人能力范围，因此采用了Mathematica进行计算。

此概率表达式最终可以化简为：

其中 为高斯超几何函数。求极限可得：

也就是说，当涨跌次数n趋向于无穷大时，题主赚到钱的概率为0。

为了更加直观的反映这个概率的大小，我们此处用Mathematica画出这个概率与n的关系，如下图所示：

而为什么赚钱概率如此之小的情况下，数学期望却是不赚不亏呢？不难发现，题主的收益在赚到钱的情况下，尤其是每次都涨，也就是 的情况下，有：

这是一个指数增长的函数，在 时将会趋于无穷。而亏钱的那一部分情况，至多只会亏光本金。因此数学期望，实际上是被赢者通吃情况下的高收益所拉高了，尽管出现的概率非常地小。